Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100839 / 98281
↖ ↑ ↗
← S 66.488071°
E 96.962586°		 ← 121.82 m → S 66.488071°
E 96.965332°		 →
↑
121.88 m
↓
↑
121.88 m
↓
S 66.489168°
E 96.962586°		 ← 121.82 m →
14 847 m²		 S 66.489168°
E 96.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769344329833984 y=0.749828338623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769344329833984 × 217)
    floor (0.769344329833984 × 131072)
    floor (100839.5)     		tx = 100839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749828338623047 × 217)
    floor (0.749828338623047 × 131072)
    floor (98281.5)     		ty = 98281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100839 / 98281 ti = "17/100839/98281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100839/98281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100839 ÷ 217
    100839 ÷ 131072     		x = 0.769340515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98281 ÷ 217
    98281 ÷ 131072     		y = 0.749824523925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769340515136719 × 2 - 1) × π
    0.538681030273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.69231637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749824523925781 × 2 - 1) × π
    -0.499649047851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.56969377805874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69231637} λ = 1.69231637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56969377805874))-π/2
    2×atan(0.208108900112021)-π/2
    2×0.205180282156919-π/2
    0.410360564313839-1.57079632675     		φ = -1.16043576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69231637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.962586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16043576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.488071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100839 KachelY 98281 1.69231637 -1.16043576 96.962586 -66.488071
    Oben rechts KachelX + 1 100840 KachelY 98281 1.69236430 -1.16043576 96.965332 -66.488071
    Unten links KachelX 100839 KachelY + 1 98282 1.69231637 -1.16045489 96.962586 -66.489168
    Unten rechts KachelX + 1 100840 KachelY + 1 98282 1.69236430 -1.16045489 96.965332 -66.489168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16043576--1.16045489) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dl = 121.877230000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16043576--1.16045489) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dr = 121.877230000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69231637-1.69236430) × cos(-1.16043576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398939985381591 × 6371000     		do = 121.821123784367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69231637-1.69236430) × cos(-1.16045489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398922443537859 × 6371000     		du = 121.815767171356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16043576)-sin(-1.16045489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398939985381591-0.398922443537859)×R²
    abs(1.69236430-1.69231637)×1.75418437317054e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75418437317054e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75418437317054e-05×40589641000000     		ar = 14846.8946982227m²