Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100838 / 99355
↖ ↑ ↗
← S 67.637452°
E 96.959839°		 ← 116.20 m → S 67.637452°
E 96.962586°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
S 67.638497°
E 96.959839°		 ← 116.20 m →
13 503 m²		 S 67.638497°
E 96.962586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769336700439453 y=0.758022308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769336700439453 × 217)
    floor (0.769336700439453 × 131072)
    floor (100838.5)     		tx = 100838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758022308349609 × 217)
    floor (0.758022308349609 × 131072)
    floor (99355.5)     		ty = 99355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100838 / 99355 ti = "17/100838/99355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100838/99355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100838 ÷ 217
    100838 ÷ 131072     		x = 0.769332885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99355 ÷ 217
    99355 ÷ 131072     		y = 0.758018493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769332885742188 × 2 - 1) × π
    0.538665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69226843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758018493652344 × 2 - 1) × π
    -0.516036987304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62117800825068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69226843} λ = 1.69226843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62117800825068))-π/2
    2×atan(0.197665710041746)-π/2
    2×0.195150046031705-π/2
    0.390300092063411-1.57079632675     		φ = -1.18049623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69226843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.959839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18049623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.637452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100838 KachelY 99355 1.69226843 -1.18049623 96.959839 -67.637452
    Oben rechts KachelX + 1 100839 KachelY 99355 1.69231637 -1.18049623 96.962586 -67.637452
    Unten links KachelX 100838 KachelY + 1 99356 1.69226843 -1.18051447 96.959839 -67.638497
    Unten rechts KachelX + 1 100839 KachelY + 1 99356 1.69231637 -1.18051447 96.962586 -67.638497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18049623--1.18051447) × R
    1.82400000001692e-05 × 6371000     		dl = 116.207040001078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18049623--1.18051447) × R
    1.82400000001692e-05 × 6371000     		dr = 116.207040001078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69226843-1.69231637) × cos(-1.18049623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380465960243909 × 6371000     		do = 116.20409745223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69226843-1.69231637) × cos(-1.18051447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38044909192119 × 6371000     		du = 116.198945432281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18049623)-sin(-1.18051447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380465960243909-0.38044909192119)×R²
    abs(1.69231637-1.69226843)×1.68683227192434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68683227192434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68683227192434e-05×40589641000000     		ar = 13503.4348507465m²