Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100838 / 98282
↖ ↑ ↗
← S 66.489168°
E 96.959839°		 ← 121.84 m → S 66.489168°
E 96.962586°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
S 66.490263°
E 96.959839°		 ← 121.84 m →
14 842 m²		 S 66.490263°
E 96.962586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769336700439453 y=0.749835968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769336700439453 × 217)
    floor (0.769336700439453 × 131072)
    floor (100838.5)     		tx = 100838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749835968017578 × 217)
    floor (0.749835968017578 × 131072)
    floor (98282.5)     		ty = 98282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100838 / 98282 ti = "17/100838/98282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100838/98282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100838 ÷ 217
    100838 ÷ 131072     		x = 0.769332885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98282 ÷ 217
    98282 ÷ 131072     		y = 0.749832153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769332885742188 × 2 - 1) × π
    0.538665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69226843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749832153320312 × 2 - 1) × π
    -0.499664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56974171495836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69226843} λ = 1.69226843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56974171495836))-π/2
    2×atan(0.208098924255674)-π/2
    2×0.205170720394113-π/2
    0.410341440788225-1.57079632675     		φ = -1.16045489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69226843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.959839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16045489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.489168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100838 KachelY 98282 1.69226843 -1.16045489 96.959839 -66.489168
    Oben rechts KachelX + 1 100839 KachelY 98282 1.69231637 -1.16045489 96.962586 -66.489168
    Unten links KachelX 100838 KachelY + 1 98283 1.69226843 -1.16047401 96.959839 -66.490263
    Unten rechts KachelX + 1 100839 KachelY + 1 98283 1.69231637 -1.16047401 96.962586 -66.490263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16045489--1.16047401) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dl = 121.813519999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16045489--1.16047401) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dr = 121.813519999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69226843-1.69231637) × cos(-1.16045489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398922443537859 × 6371000     		do = 121.841182520079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69226843-1.69231637) × cos(-1.16047401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398904910718062 × 6371000     		du = 121.835827545618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16045489)-sin(-1.16047401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398922443537859-0.398904910718062)×R²
    abs(1.69231637-1.69226843)×1.75328197970503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75328197970503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75328197970503e-05×40589641000000     		ar = 14841.577169942m²