Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100833 / 99320
↖ ↑ ↗
← S 67.600849°
E 96.946106°		 ← 116.36 m → S 67.600849°
E 96.948852°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
S 67.601896°
E 96.946106°		 ← 116.36 m →
13 536 m²		 S 67.601896°
E 96.948852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769298553466797 y=0.757755279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769298553466797 × 217)
    floor (0.769298553466797 × 131072)
    floor (100833.5)     		tx = 100833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757755279541016 × 217)
    floor (0.757755279541016 × 131072)
    floor (99320.5)     		ty = 99320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100833 / 99320 ti = "17/100833/99320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100833/99320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100833 ÷ 217
    100833 ÷ 131072     		x = 0.769294738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99320 ÷ 217
    99320 ÷ 131072     		y = 0.75775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769294738769531 × 2 - 1) × π
    0.538589477539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.69202875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5155029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61950021676398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69202875} λ = 1.69202875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61950021676398))-π/2
    2×atan(0.197997630255859)-π/2
    2×0.195469465024128-π/2
    0.390938930048255-1.57079632675     		φ = -1.17985740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69202875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.946106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17985740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.600849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100833 KachelY 99320 1.69202875 -1.17985740 96.946106 -67.600849
    Oben rechts KachelX + 1 100834 KachelY 99320 1.69207668 -1.17985740 96.948852 -67.600849
    Unten links KachelX 100833 KachelY + 1 99321 1.69202875 -1.17987566 96.946106 -67.601896
    Unten rechts KachelX + 1 100834 KachelY + 1 99321 1.69207668 -1.17987566 96.948852 -67.601896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17985740--1.17987566) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17985740--1.17987566) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69202875-1.69207668) × cos(-1.17985740) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381056669310797 × 6371000     		do = 116.360238085855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69202875-1.69207668) × cos(-1.17987566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381039786933537 × 6371000     		du = 116.355082848863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17985740)-sin(-1.17987566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381056669310797-0.381039786933537)×R²
    abs(1.69207668-1.69202875)×1.68823772603854e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68823772603854e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68823772603854e-05×40589641000000     		ar = 13536.4055975978m²