Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100830 / 99354
↖ ↑ ↗
← S 67.636407°
E 96.937866°		 ← 116.19 m → S 67.636407°
E 96.940613°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
S 67.637452°
E 96.937866°		 ← 116.18 m →
13 494 m²		 S 67.637452°
E 96.940613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769275665283203 y=0.758014678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769275665283203 × 217)
    floor (0.769275665283203 × 131072)
    floor (100830.5)     		tx = 100830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758014678955078 × 217)
    floor (0.758014678955078 × 131072)
    floor (99354.5)     		ty = 99354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100830 / 99354 ti = "17/100830/99354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100830/99354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100830 ÷ 217
    100830 ÷ 131072     		x = 0.769271850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99354 ÷ 217
    99354 ÷ 131072     		y = 0.758010864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769271850585938 × 2 - 1) × π
    0.538543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69188494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758010864257812 × 2 - 1) × π
    -0.516021728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62113007135106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69188494} λ = 1.69188494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62113007135106))-π/2
    2×atan(0.197675185750162)-π/2
    2×0.19515916541301-π/2
    0.39031833082602-1.57079632675     		φ = -1.18047800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69188494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.937866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18047800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.636407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100830 KachelY 99354 1.69188494 -1.18047800 96.937866 -67.636407
    Oben rechts KachelX + 1 100831 KachelY 99354 1.69193287 -1.18047800 96.940613 -67.636407
    Unten links KachelX 100830 KachelY + 1 99355 1.69188494 -1.18049623 96.937866 -67.637452
    Unten rechts KachelX + 1 100831 KachelY + 1 99355 1.69193287 -1.18049623 96.940613 -67.637452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18047800--1.18049623) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18047800--1.18049623) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69188494-1.69193287) × cos(-1.18047800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380482819192168 × 6371000     		do = 116.185006048714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69188494-1.69193287) × cos(-1.18049623) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380465960243909 × 6371000     		du = 116.17985796605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18047800)-sin(-1.18049623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380482819192168-0.380465960243909)×R²
    abs(1.69193287-1.69188494)×1.68589482590353e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68589482590353e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68589482590353e-05×40589641000000     		ar = 13493.8145411852m²