Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100829 / 98712
↖ ↑ ↗
← S 66.955877°
E 96.935120°		 ← 119.56 m → S 66.955877°
E 96.937866°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
S 66.956952°
E 96.935120°		 ← 119.55 m →
14 297 m²		 S 66.956952°
E 96.937866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769268035888672 y=0.753116607666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769268035888672 × 217)
    floor (0.769268035888672 × 131072)
    floor (100829.5)     		tx = 100829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753116607666016 × 217)
    floor (0.753116607666016 × 131072)
    floor (98712.5)     		ty = 98712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100829 / 98712 ti = "17/100829/98712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100829/98712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100829 ÷ 217
    100829 ÷ 131072     		x = 0.769264221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98712 ÷ 217
    98712 ÷ 131072     		y = 0.75311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769264221191406 × 2 - 1) × π
    0.538528442382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.69183700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.5062255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59035458179498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69183700} λ = 1.69183700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59035458179498))-π/2
    2×atan(0.203853316242852)-π/2
    2×0.201097911167592-π/2
    0.402195822335183-1.57079632675     		φ = -1.16860050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69183700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.935120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16860050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.955877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100829 KachelY 98712 1.69183700 -1.16860050 96.935120 -66.955877
    Oben rechts KachelX + 1 100830 KachelY 98712 1.69188494 -1.16860050 96.937866 -66.955877
    Unten links KachelX 100829 KachelY + 1 98713 1.69183700 -1.16861927 96.935120 -66.956952
    Unten rechts KachelX + 1 100830 KachelY + 1 98713 1.69188494 -1.16861927 96.937866 -66.956952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16860050--1.16861927) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16860050--1.16861927) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69183700-1.69188494) × cos(-1.16860050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391439892273592 × 6371000     		do = 119.555818763104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69183700-1.69188494) × cos(-1.16861927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391422619981585 × 6371000     		du = 119.550543360536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16860050)-sin(-1.16861927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391439892273592-0.391422619981585)×R²
    abs(1.69188494-1.69183700)×1.72722920074309e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72722920074309e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72722920074309e-05×40589641000000     		ar = 14296.6081520285m²