Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100828 / 99309
↖ ↑ ↗
← S 67.589334°
E 96.932373°		 ← 116.44 m → S 67.589334°
E 96.935120°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
S 67.590381°
E 96.932373°		 ← 116.44 m →
13 561 m²		 S 67.590381°
E 96.935120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769260406494141 y=0.757671356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769260406494141 × 217)
    floor (0.769260406494141 × 131072)
    floor (100828.5)     		tx = 100828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757671356201172 × 217)
    floor (0.757671356201172 × 131072)
    floor (99309.5)     		ty = 99309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100828 / 99309 ti = "17/100828/99309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100828/99309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100828 ÷ 217
    100828 ÷ 131072     		x = 0.769256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99309 ÷ 217
    99309 ÷ 131072     		y = 0.757667541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769256591796875 × 2 - 1) × π
    0.53851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69178906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757667541503906 × 2 - 1) × π
    -0.515335083007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.61897291086816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69178906} λ = 1.69178906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61897291086816))-π/2
    2×atan(0.19810206310526)-π/2
    2×0.195569956232254-π/2
    0.391139912464507-1.57079632675     		φ = -1.17965641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69178906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.932373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17965641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.589334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100828 KachelY 99309 1.69178906 -1.17965641 96.932373 -67.589334
    Oben rechts KachelX + 1 100829 KachelY 99309 1.69183700 -1.17965641 96.935120 -67.589334
    Unten links KachelX 100828 KachelY + 1 99310 1.69178906 -1.17967469 96.932373 -67.590381
    Unten rechts KachelX + 1 100829 KachelY + 1 99310 1.69183700 -1.17967469 96.935120 -67.590381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17965641--1.17967469) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dl = 116.461879999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17965641--1.17967469) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dr = 116.461879999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69178906-1.69183700) × cos(-1.17965641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381242487255568 × 6371000     		do = 116.441268789396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69178906-1.69183700) × cos(-1.17967469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381225587787485 × 6371000     		du = 116.436107256851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17965641)-sin(-1.17967469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381242487255568-0.381225587787485)×R²
    abs(1.69183700-1.69178906)×1.68994680836421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68994680836421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68994680836421e-05×40589641000000     		ar = 13560.6685122424m²