Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100827 / 98719
↖ ↑ ↗
← S 66.963402°
E 96.929626°		 ← 119.52 m → S 66.963402°
E 96.932373°		 →
↑
119.46 m
↓
↑
119.46 m
↓
S 66.964476°
E 96.929626°		 ← 119.51 m →
14 277 m²		 S 66.964476°
E 96.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769252777099609 y=0.753170013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769252777099609 × 217)
    floor (0.769252777099609 × 131072)
    floor (100827.5)     		tx = 100827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753170013427734 × 217)
    floor (0.753170013427734 × 131072)
    floor (98719.5)     		ty = 98719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100827 / 98719 ti = "17/100827/98719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100827/98719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100827 ÷ 217
    100827 ÷ 131072     		x = 0.769248962402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98719 ÷ 217
    98719 ÷ 131072     		y = 0.753166198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769248962402344 × 2 - 1) × π
    0.538497924804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.69174112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753166198730469 × 2 - 1) × π
    -0.506332397460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.59069014009232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69174112} λ = 1.69174112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59069014009232))-π/2
    2×atan(0.20378492304674)-π/2
    2×0.201032245855242-π/2
    0.402064491710484-1.57079632675     		φ = -1.16873184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69174112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.929626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16873184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.963402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100827 KachelY 98719 1.69174112 -1.16873184 96.929626 -66.963402
    Oben rechts KachelX + 1 100828 KachelY 98719 1.69178906 -1.16873184 96.932373 -66.963402
    Unten links KachelX 100827 KachelY + 1 98720 1.69174112 -1.16875059 96.929626 -66.964476
    Unten rechts KachelX + 1 100828 KachelY + 1 98720 1.69178906 -1.16875059 96.932373 -66.964476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16873184--1.16875059) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dl = 119.456249999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16873184--1.16875059) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dr = 119.456249999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69174112-1.69178906) × cos(-1.16873184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39131902934654 × 6371000     		do = 119.51890411417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69174112-1.69178906) × cos(-1.16875059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391301774494954 × 6371000     		du = 119.513634038356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16873184)-sin(-1.16875059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39131902934654-0.391301774494954)×R²
    abs(1.69178906-1.69174112)×1.72548515864901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72548515864901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72548515864901e-05×40589641000000     		ar = 14276.965318194m²