Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100820 / 99220
↖ ↑ ↗
← S 67.495957°
E 96.910401°		 ← 116.88 m → S 67.495957°
E 96.913147°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.497008°
E 96.910401°		 ← 116.87 m →
13 656 m²		 S 67.497008°
E 96.913147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769199371337891 y=0.756992340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769199371337891 × 217)
    floor (0.769199371337891 × 131072)
    floor (100820.5)     		tx = 100820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756992340087891 × 217)
    floor (0.756992340087891 × 131072)
    floor (99220.5)     		ty = 99220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100820 / 99220 ti = "17/100820/99220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100820/99220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100820 ÷ 217
    100820 ÷ 131072     		x = 0.769195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99220 ÷ 217
    99220 ÷ 131072     		y = 0.756988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769195556640625 × 2 - 1) × π
    0.53839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69140557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756988525390625 × 2 - 1) × π
    -0.51397705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61470652680197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69140557} λ = 1.69140557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61470652680197))-π/2
    2×atan(0.19894904808765)-π/2
    2×0.196384825233374-π/2
    0.392769650466749-1.57079632675     		φ = -1.17802668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69140557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.910401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17802668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.495957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100820 KachelY 99220 1.69140557 -1.17802668 96.910401 -67.495957
    Oben rechts KachelX + 1 100821 KachelY 99220 1.69145350 -1.17802668 96.913147 -67.495957
    Unten links KachelX 100820 KachelY + 1 99221 1.69140557 -1.17804502 96.910401 -67.497008
    Unten rechts KachelX + 1 100821 KachelY + 1 99221 1.69145350 -1.17804502 96.913147 -67.497008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17802668--1.17804502) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17802668--1.17804502) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69140557-1.69145350) × cos(-1.17802668) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382748625060326 × 6371000     		do = 116.876897128202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69140557-1.69145350) × cos(-1.17804502) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382731681540628 × 6371000     		du = 116.871723220631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17802668)-sin(-1.17804502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382748625060326-0.382731681540628)×R²
    abs(1.69145350-1.69140557)×1.69435196978873e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69435196978873e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69435196978873e-05×40589641000000     		ar = 13656.0782608056m²