Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100819 / 98819
↖ ↑ ↗
← S 67.070643°
E 96.907654°		 ← 118.99 m → S 67.070643°
E 96.910401°		 →
↑
119.01 m
↓
↑
119.01 m
↓
S 67.071714°
E 96.907654°		 ← 118.99 m →
14 161 m²		 S 67.071714°
E 96.910401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769191741943359 y=0.753932952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769191741943359 × 217)
    floor (0.769191741943359 × 131072)
    floor (100819.5)     		tx = 100819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753932952880859 × 217)
    floor (0.753932952880859 × 131072)
    floor (98819.5)     		ty = 98819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100819 / 98819 ti = "17/100819/98819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100819/98819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100819 ÷ 217
    100819 ÷ 131072     		x = 0.769187927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98819 ÷ 217
    98819 ÷ 131072     		y = 0.753929138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769187927246094 × 2 - 1) × π
    0.538375854492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.69135763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753929138183594 × 2 - 1) × π
    -0.507858276367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.59548383005433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69135763} λ = 1.69135763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59548383005433))-π/2
    2×atan(0.202810379003928)-π/2
    2×0.200096381103996-π/2
    0.400192762207991-1.57079632675     		φ = -1.17060356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69135763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.907654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17060356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.070643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100819 KachelY 98819 1.69135763 -1.17060356 96.907654 -67.070643
    Oben rechts KachelX + 1 100820 KachelY 98819 1.69140557 -1.17060356 96.910401 -67.070643
    Unten links KachelX 100819 KachelY + 1 98820 1.69135763 -1.17062224 96.907654 -67.071714
    Unten rechts KachelX + 1 100820 KachelY + 1 98820 1.69140557 -1.17062224 96.910401 -67.071714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17060356--1.17062224) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dl = 119.010279999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17060356--1.17062224) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dr = 119.010279999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69135763-1.69140557) × cos(-1.17060356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389595885048064 × 6371000     		do = 118.992611491682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69135763-1.69140557) × cos(-1.17062224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389578680963293 × 6371000     		du = 118.98735692136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17060356)-sin(-1.17062224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389595885048064-0.389578680963293)×R²
    abs(1.69140557-1.69135763)×1.72040847703503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72040847703503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72040847703503e-05×40589641000000     		ar = 14161.0313379345m²