Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100817 / 98831
↖ ↑ ↗
← S 67.083481°
E 96.902161°		 ← 118.90 m → S 67.083481°
E 96.904907°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
S 67.084550°
E 96.902161°		 ← 118.90 m →
14 135 m²		 S 67.084550°
E 96.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769176483154297 y=0.754024505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769176483154297 × 217)
    floor (0.769176483154297 × 131072)
    floor (100817.5)     		tx = 100817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754024505615234 × 217)
    floor (0.754024505615234 × 131072)
    floor (98831.5)     		ty = 98831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100817 / 98831 ti = "17/100817/98831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100817/98831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100817 ÷ 217
    100817 ÷ 131072     		x = 0.769172668457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98831 ÷ 217
    98831 ÷ 131072     		y = 0.754020690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769172668457031 × 2 - 1) × π
    0.538345336914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.69126176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754020690917969 × 2 - 1) × π
    -0.508041381835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.59605907284977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69126176} λ = 1.69126176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59605907284977))-π/2
    2×atan(0.202693747343543)-π/2
    2×0.199984354671036-π/2
    0.399968709342071-1.57079632675     		φ = -1.17082762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69126176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.902161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17082762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.083481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100817 KachelY 98831 1.69126176 -1.17082762 96.902161 -67.083481
    Oben rechts KachelX + 1 100818 KachelY 98831 1.69130969 -1.17082762 96.904907 -67.083481
    Unten links KachelX 100817 KachelY + 1 98832 1.69126176 -1.17084628 96.902161 -67.084550
    Unten rechts KachelX + 1 100818 KachelY + 1 98832 1.69130969 -1.17084628 96.904907 -67.084550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17082762--1.17084628) × R
    1.86599999998371e-05 × 6371000     		dl = 118.882859998962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17082762--1.17084628) × R
    1.86599999998371e-05 × 6371000     		dr = 118.882859998962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69126176-1.69130969) × cos(-1.17082762) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389389519167385 × 6371000     		do = 118.904774033749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69126176-1.69130969) × cos(-1.17084628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389372331874061 × 6371000     		du = 118.89952568697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17082762)-sin(-1.17084628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389389519167385-0.389372331874061)×R²
    abs(1.69130969-1.69126176)×1.71872933238948e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71872933238948e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71872933238948e-05×40589641000000     		ar = 14135.4276359548m²