Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100815 / 99221
↖ ↑ ↗
← S 67.497008°
E 96.896667°		 ← 116.90 m → S 67.497008°
E 96.899414°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
S 67.498059°
E 96.896667°		 ← 116.89 m →
13 666 m²		 S 67.498059°
E 96.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769161224365234 y=0.756999969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769161224365234 × 217)
    floor (0.769161224365234 × 131072)
    floor (100815.5)     		tx = 100815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756999969482422 × 217)
    floor (0.756999969482422 × 131072)
    floor (99221.5)     		ty = 99221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100815 / 99221 ti = "17/100815/99221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100815/99221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100815 ÷ 217
    100815 ÷ 131072     		x = 0.769157409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99221 ÷ 217
    99221 ÷ 131072     		y = 0.756996154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769157409667969 × 2 - 1) × π
    0.538314819335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.69116588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756996154785156 × 2 - 1) × π
    -0.513992309570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.61475446370159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69116588} λ = 1.69116588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61475446370159))-π/2
    2×atan(0.198939511315686)-π/2
    2×0.196375651545221-π/2
    0.392751303090443-1.57079632675     		φ = -1.17804502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69116588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.896667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17804502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.497008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100815 KachelY 99221 1.69116588 -1.17804502 96.896667 -67.497008
    Oben rechts KachelX + 1 100816 KachelY 99221 1.69121382 -1.17804502 96.899414 -67.497008
    Unten links KachelX 100815 KachelY + 1 99222 1.69116588 -1.17806337 96.896667 -67.498059
    Unten rechts KachelX + 1 100816 KachelY + 1 99222 1.69121382 -1.17806337 96.899414 -67.498059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17804502--1.17806337) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17804502--1.17806337) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69116588-1.69121382) × cos(-1.17804502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382731681540628 × 6371000     		do = 116.896107055914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69116588-1.69121382) × cos(-1.17806337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38271472865353 × 6371000     		du = 116.890929207827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17804502)-sin(-1.17806337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382731681540628-0.38271472865353)×R²
    abs(1.69121382-1.69116588)×1.69528870974656e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69528870974656e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69528870974656e-05×40589641000000     		ar = 13665.7698842282m²