Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100815 / 99217
↖ ↑ ↗
← S 67.492803°
E 96.896667°		 ← 116.92 m → S 67.492803°
E 96.899414°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
S 67.493854°
E 96.896667°		 ← 116.91 m →
13 668 m²		 S 67.493854°
E 96.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769161224365234 y=0.756969451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769161224365234 × 217)
    floor (0.769161224365234 × 131072)
    floor (100815.5)     		tx = 100815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756969451904297 × 217)
    floor (0.756969451904297 × 131072)
    floor (99217.5)     		ty = 99217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100815 / 99217 ti = "17/100815/99217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100815/99217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100815 ÷ 217
    100815 ÷ 131072     		x = 0.769157409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99217 ÷ 217
    99217 ÷ 131072     		y = 0.756965637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769157409667969 × 2 - 1) × π
    0.538314819335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.69116588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756965637207031 × 2 - 1) × π
    -0.513931274414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.61456271610311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69116588} λ = 1.69116588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61456271610311))-π/2
    2×atan(0.198977661146676)-π/2
    2×0.196412348735577-π/2
    0.392824697471155-1.57079632675     		φ = -1.17797163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69116588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.896667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17797163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.492803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100815 KachelY 99217 1.69116588 -1.17797163 96.896667 -67.492803
    Oben rechts KachelX + 1 100816 KachelY 99217 1.69121382 -1.17797163 96.899414 -67.492803
    Unten links KachelX 100815 KachelY + 1 99218 1.69116588 -1.17798998 96.896667 -67.493854
    Unten rechts KachelX + 1 100816 KachelY + 1 99218 1.69121382 -1.17798998 96.899414 -67.493854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17797163--1.17798998) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17797163--1.17798998) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69116588-1.69121382) × cos(-1.17797163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382799482561903 × 6371000     		do = 116.91681523301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69116588-1.69121382) × cos(-1.17798998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382782530190267 × 6371000     		du = 116.911637542358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17797163)-sin(-1.17798998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382799482561903-0.382782530190267)×R²
    abs(1.69121382-1.69116588)×1.69523716359588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69523716359588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69523716359588e-05×40589641000000     		ar = 13668.1908418482m²