Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100815 / 100096
↖ ↑ ↗
← S 68.399180°
E 96.896667°		 ← 112.44 m → S 68.399180°
E 96.899414°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.400191°
E 96.896667°		 ← 112.43 m →
12 636 m²		 S 68.400191°
E 96.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769161224365234 y=0.763675689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769161224365234 × 217)
    floor (0.769161224365234 × 131072)
    floor (100815.5)     		tx = 100815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763675689697266 × 217)
    floor (0.763675689697266 × 131072)
    floor (100096.5)     		ty = 100096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100815 / 100096 ti = "17/100815/100096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100815/100096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100815 ÷ 217
    100815 ÷ 131072     		x = 0.769157409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100096 ÷ 217
    100096 ÷ 131072     		y = 0.763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769157409667969 × 2 - 1) × π
    0.538314819335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.69116588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763671875 × 2 - 1) × π
    -0.52734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69116588} λ = 1.69116588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65669925086914))-π/2
    2×atan(0.190767618092236)-π/2
    2×0.188502714694935-π/2
    0.37700542938987-1.57079632675     		φ = -1.19379090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69116588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.896667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19379090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.399180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100815 KachelY 100096 1.69116588 -1.19379090 96.896667 -68.399180
    Oben rechts KachelX + 1 100816 KachelY 100096 1.69121382 -1.19379090 96.899414 -68.399180
    Unten links KachelX 100815 KachelY + 1 100097 1.69116588 -1.19380854 96.896667 -68.400191
    Unten rechts KachelX + 1 100816 KachelY + 1 100097 1.69121382 -1.19380854 96.899414 -68.400191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19379090--1.19380854) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19379090--1.19380854) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69116588-1.69121382) × cos(-1.19379090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368137856227506 × 6371000     		do = 112.438777160226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69116588-1.69121382) × cos(-1.19380854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368121455005935 × 6371000     		du = 112.433767804991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19379090)-sin(-1.19380854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368137856227506-0.368121455005935)×R²
    abs(1.69121382-1.69116588)×1.6401221570761e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6401221570761e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6401221570761e-05×40589641000000     		ar = 12636.0875189817m²