Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100814 / 98290
↖ ↑ ↗
← S 66.497931°
E 96.893921°		 ← 121.80 m → S 66.497931°
E 96.896667°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
S 66.499026°
E 96.893921°		 ← 121.79 m →
14 836 m²		 S 66.499026°
E 96.896667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769153594970703 y=0.749897003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769153594970703 × 217)
    floor (0.769153594970703 × 131072)
    floor (100814.5)     		tx = 100814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749897003173828 × 217)
    floor (0.749897003173828 × 131072)
    floor (98290.5)     		ty = 98290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100814 / 98290 ti = "17/100814/98290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100814/98290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100814 ÷ 217
    100814 ÷ 131072     		x = 0.769149780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98290 ÷ 217
    98290 ÷ 131072     		y = 0.749893188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769149780273438 × 2 - 1) × π
    0.538299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69111794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749893188476562 × 2 - 1) × π
    -0.499786376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57012521015532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69111794} λ = 1.69111794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57012521015532))-π/2
    2×atan(0.208019134618179)-π/2
    2×0.205094241421237-π/2
    0.410188482842473-1.57079632675     		φ = -1.16060784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69111794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.893921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16060784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.497931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100814 KachelY 98290 1.69111794 -1.16060784 96.893921 -66.497931
    Oben rechts KachelX + 1 100815 KachelY 98290 1.69116588 -1.16060784 96.896667 -66.497931
    Unten links KachelX 100814 KachelY + 1 98291 1.69111794 -1.16062696 96.893921 -66.499026
    Unten rechts KachelX + 1 100815 KachelY + 1 98291 1.69116588 -1.16062696 96.896667 -66.499026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16060784--1.16062696) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dl = 121.813520000956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16060784--1.16062696) × R
    1.91200000001501e-05 × 6371000     		dr = 121.813520000956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69111794-1.69116588) × cos(-1.16060784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398782186067074 × 6371000     		do = 121.798344278274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69111794-1.69116588) × cos(-1.16062696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398764652080897 × 6371000     		du = 121.792988947571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16060784)-sin(-1.16062696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398782186067074-0.398764652080897)×R²
    abs(1.69116588-1.69111794)×1.75339861768764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75339861768764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75339861768764e-05×40589641000000     		ar = 14836.358871525m²