Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100811 / 100132
↖ ↑ ↗
← S 68.435551°
E 96.885681°		 ← 112.26 m → S 68.435551°
E 96.888428°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.436561°
E 96.885681°		 ← 112.25 m →
12 602 m²		 S 68.436561°
E 96.888428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769130706787109 y=0.763950347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769130706787109 × 217)
    floor (0.769130706787109 × 131072)
    floor (100811.5)     		tx = 100811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763950347900391 × 217)
    floor (0.763950347900391 × 131072)
    floor (100132.5)     		ty = 100132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100811 / 100132 ti = "17/100811/100132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100811/100132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100811 ÷ 217
    100811 ÷ 131072     		x = 0.769126892089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100132 ÷ 217
    100132 ÷ 131072     		y = 0.763946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769126892089844 × 2 - 1) × π
    0.538253784179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.69097413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.52789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65842497925546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69097413} λ = 1.69097413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65842497925546))-π/2
    2×atan(0.190438688901357)-π/2
    2×0.188185316445922-π/2
    0.376370632891843-1.57079632675     		φ = -1.19442569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69097413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.885681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19442569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.435551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100811 KachelY 100132 1.69097413 -1.19442569 96.885681 -68.435551
    Oben rechts KachelX + 1 100812 KachelY 100132 1.69102207 -1.19442569 96.888428 -68.435551
    Unten links KachelX 100811 KachelY + 1 100133 1.69097413 -1.19444331 96.885681 -68.436561
    Unten rechts KachelX + 1 100812 KachelY + 1 100133 1.69102207 -1.19444331 96.888428 -68.436561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19442569--1.19444331) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19442569--1.19444331) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69097413-1.69102207) × cos(-1.19442569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367547572623224 × 6371000     		do = 112.258489353578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69097413-1.69102207) × cos(-1.19444331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367531185882978 × 6371000     		du = 112.253484421313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19442569)-sin(-1.19444331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367547572623224-0.367531185882978)×R²
    abs(1.69102207-1.69097413)×1.63867402456774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63867402456774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63867402456774e-05×40589641000000     		ar = 12601.5225654815m²