Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100807 / 99369
↖ ↑ ↗
← S 67.652077°
E 96.874695°		 ← 116.11 m → S 67.652077°
E 96.877441°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
S 67.653122°
E 96.874695°		 ← 116.10 m →
13 485 m²		 S 67.653122°
E 96.877441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769100189208984 y=0.758129119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769100189208984 × 217)
    floor (0.769100189208984 × 131072)
    floor (100807.5)     		tx = 100807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758129119873047 × 217)
    floor (0.758129119873047 × 131072)
    floor (99369.5)     		ty = 99369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100807 / 99369 ti = "17/100807/99369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100807/99369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100807 ÷ 217
    100807 ÷ 131072     		x = 0.769096374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99369 ÷ 217
    99369 ÷ 131072     		y = 0.758125305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769096374511719 × 2 - 1) × π
    0.538192749023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.69078239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758125305175781 × 2 - 1) × π
    -0.516250610351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.62184912484536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69078239} λ = 1.69078239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62184912484536))-π/2
    2×atan(0.19753309780765)-π/2
    2×0.195022417134974-π/2
    0.390044834269948-1.57079632675     		φ = -1.18075149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69078239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.874695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18075149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.652077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100807 KachelY 99369 1.69078239 -1.18075149 96.874695 -67.652077
    Oben rechts KachelX + 1 100808 KachelY 99369 1.69083032 -1.18075149 96.877441 -67.652077
    Unten links KachelX 100807 KachelY + 1 99370 1.69078239 -1.18076972 96.874695 -67.653122
    Unten rechts KachelX + 1 100808 KachelY + 1 99370 1.69083032 -1.18076972 96.877441 -67.653122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18075149--1.18076972) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18075149--1.18076972) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69078239-1.69083032) × cos(-1.18075149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380229884698809 × 6371000     		do = 116.107769458365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69078239-1.69083032) × cos(-1.18076972) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38021302385424 × 6371000     		du = 116.10262079664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18075149)-sin(-1.18076972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380229884698809-0.38021302385424)×R²
    abs(1.69083032-1.69078239)×1.68608445683671e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68608445683671e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68608445683671e-05×40589641000000     		ar = 13484.8439927026m²