Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100802 / 99377
↖ ↑ ↗
← S 67.660430°
E 96.860962°		 ← 116.09 m → S 67.660430°
E 96.863709°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
S 67.661474°
E 96.860962°		 ← 116.09 m →
13 475 m²		 S 67.661474°
E 96.863709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769062042236328 y=0.758190155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769062042236328 × 217)
    floor (0.769062042236328 × 131072)
    floor (100802.5)     		tx = 100802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758190155029297 × 217)
    floor (0.758190155029297 × 131072)
    floor (99377.5)     		ty = 99377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100802 / 99377 ti = "17/100802/99377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100802/99377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100802 ÷ 217
    100802 ÷ 131072     		x = 0.769058227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99377 ÷ 217
    99377 ÷ 131072     		y = 0.758186340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769058227539062 × 2 - 1) × π
    0.538116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69054270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758186340332031 × 2 - 1) × π
    -0.516372680664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.62223262004232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69054270} λ = 1.69054270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62223262004232))-π/2
    2×atan(0.197457359336998)-π/2
    2×0.194949521896849-π/2
    0.389899043793698-1.57079632675     		φ = -1.18089728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69054270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.860962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18089728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.660430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100802 KachelY 99377 1.69054270 -1.18089728 96.860962 -67.660430
    Oben rechts KachelX + 1 100803 KachelY 99377 1.69059064 -1.18089728 96.863709 -67.660430
    Unten links KachelX 100802 KachelY + 1 99378 1.69054270 -1.18091550 96.860962 -67.661474
    Unten rechts KachelX + 1 100803 KachelY + 1 99378 1.69059064 -1.18091550 96.863709 -67.661474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18089728--1.18091550) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18089728--1.18091550) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69054270-1.69059064) × cos(-1.18089728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380095040651944 × 6371000     		do = 116.090809061374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69054270-1.69059064) × cos(-1.18091550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380078188046564 × 6371000     		du = 116.085661841905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18089728)-sin(-1.18091550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380095040651944-0.380078188046564)×R²
    abs(1.69059064-1.69054270)×1.68526053798135e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68526053798135e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68526053798135e-05×40589641000000     		ar = 13475.478258268m²