Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100794 / 98219
↖ ↑ ↗
← S 66.420044°
E 96.838989°		 ← 122.15 m → S 66.420044°
E 96.841736°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
S 66.421143°
E 96.838989°		 ← 122.15 m →
14 926 m²		 S 66.421143°
E 96.841736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769001007080078 y=0.749355316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769001007080078 × 217)
    floor (0.769001007080078 × 131072)
    floor (100794.5)     		tx = 100794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749355316162109 × 217)
    floor (0.749355316162109 × 131072)
    floor (98219.5)     		ty = 98219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100794 / 98219 ti = "17/100794/98219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100794/98219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100794 ÷ 217
    100794 ÷ 131072     		x = 0.768997192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98219 ÷ 217
    98219 ÷ 131072     		y = 0.749351501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768997192382812 × 2 - 1) × π
    0.537994384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69015921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749351501464844 × 2 - 1) × π
    -0.498703002929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.5667216902823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69015921} λ = 1.69015921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5667216902823))-π/2
    2×atan(0.208728338086255)-π/2
    2×0.205773932922923-π/2
    0.411547865845846-1.57079632675     		φ = -1.15924846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69015921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.838989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15924846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.420044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100794 KachelY 98219 1.69015921 -1.15924846 96.838989 -66.420044
    Oben rechts KachelX + 1 100795 KachelY 98219 1.69020714 -1.15924846 96.841736 -66.420044
    Unten links KachelX 100794 KachelY + 1 98220 1.69015921 -1.15926764 96.838989 -66.421143
    Unten rechts KachelX + 1 100795 KachelY + 1 98220 1.69020714 -1.15926764 96.841736 -66.421143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15924846--1.15926764) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15924846--1.15926764) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69015921-1.69020714) × cos(-1.15924846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400028430773831 × 6371000     		do = 122.153493678886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69015921-1.69020714) × cos(-1.15926764) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400010852177886 × 6371000     		du = 122.148125843144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15924846)-sin(-1.15926764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400028430773831-0.400010852177886)×R²
    abs(1.69020714-1.69015921)×1.75785959449781e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75785959449781e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75785959449781e-05×40589641000000     		ar = 14926.313476797m²