Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100789 / 99364
↖ ↑ ↗
← S 67.646855°
E 96.825256°		 ← 116.16 m → S 67.646855°
E 96.828003°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
S 67.647900°
E 96.825256°		 ← 116.15 m →
13 491 m²		 S 67.647900°
E 96.828003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768962860107422 y=0.758090972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768962860107422 × 217)
    floor (0.768962860107422 × 131072)
    floor (100789.5)     		tx = 100789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758090972900391 × 217)
    floor (0.758090972900391 × 131072)
    floor (99364.5)     		ty = 99364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100789 / 99364 ti = "17/100789/99364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100789/99364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100789 ÷ 217
    100789 ÷ 131072     		x = 0.768959045410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99364 ÷ 217
    99364 ÷ 131072     		y = 0.758087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768959045410156 × 2 - 1) × π
    0.537918090820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.68991952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.51617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62160944034726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68991952} λ = 1.68991952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62160944034726))-π/2
    2×atan(0.197580449103515)-π/2
    2×0.195067989790308-π/2
    0.390135979580616-1.57079632675     		φ = -1.18066035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68991952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.825256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18066035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.646855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100789 KachelY 99364 1.68991952 -1.18066035 96.825256 -67.646855
    Oben rechts KachelX + 1 100790 KachelY 99364 1.68996746 -1.18066035 96.828003 -67.646855
    Unten links KachelX 100789 KachelY + 1 99365 1.68991952 -1.18067858 96.825256 -67.647900
    Unten rechts KachelX + 1 100790 KachelY + 1 99365 1.68996746 -1.18067858 96.828003 -67.647900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18066035--1.18067858) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18066035--1.18067858) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68991952-1.68996746) × cos(-1.18066035) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380314177777521 × 6371000     		do = 116.157739180653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68991952-1.68996746) × cos(-1.18067858) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380297317564754 × 6371000     		du = 116.152589637692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18066035)-sin(-1.18067858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380314177777521-0.380297317564754)×R²
    abs(1.68996746-1.68991952)×1.68602127671447e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68602127671447e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68602127671447e-05×40589641000000     		ar = 13490.6475914469m²