Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100787 / 99367
↖ ↑ ↗
← S 67.649989°
E 96.819763°		 ← 116.14 m → S 67.649989°
E 96.822510°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
S 67.651033°
E 96.819763°		 ← 116.14 m →
13 489 m²		 S 67.651033°
E 96.822510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768947601318359 y=0.758113861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768947601318359 × 217)
    floor (0.768947601318359 × 131072)
    floor (100787.5)     		tx = 100787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758113861083984 × 217)
    floor (0.758113861083984 × 131072)
    floor (99367.5)     		ty = 99367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100787 / 99367 ti = "17/100787/99367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100787/99367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100787 ÷ 217
    100787 ÷ 131072     		x = 0.768943786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99367 ÷ 217
    99367 ÷ 131072     		y = 0.758110046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768943786621094 × 2 - 1) × π
    0.537887573242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.68982365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758110046386719 × 2 - 1) × π
    -0.516220092773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.62175325104612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68982365} λ = 1.68982365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62175325104612))-π/2
    2×atan(0.197552036964083)-π/2
    2×0.19504064498482-π/2
    0.39008128996964-1.57079632675     		φ = -1.18071504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68982365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.819763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18071504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.649989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100787 KachelY 99367 1.68982365 -1.18071504 96.819763 -67.649989
    Oben rechts KachelX + 1 100788 KachelY 99367 1.68987159 -1.18071504 96.822510 -67.649989
    Unten links KachelX 100787 KachelY + 1 99368 1.68982365 -1.18073327 96.819763 -67.651033
    Unten rechts KachelX + 1 100788 KachelY + 1 99368 1.68987159 -1.18073327 96.822510 -67.651033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18071504--1.18073327) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18071504--1.18073327) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68982365-1.68987159) × cos(-1.18071504) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.38026359676007 × 6371000     		do = 116.142290435968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68982365-1.68987159) × cos(-1.18073327) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380246736168163 × 6371000     		du = 116.137140777208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18071504)-sin(-1.18073327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38026359676007-0.380246736168163)×R²
    abs(1.68987159-1.68982365)×1.68605919062537e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68605919062537e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68605919062537e-05×40589641000000     		ar = 13488.8533160779m²