Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100787 / 100125
↖ ↑ ↗
← S 68.428484°
E 96.819763°		 ← 112.29 m → S 68.428484°
E 96.822510°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
S 68.429494°
E 96.819763°		 ← 112.29 m →
12 613 m²		 S 68.429494°
E 96.822510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768947601318359 y=0.763896942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768947601318359 × 217)
    floor (0.768947601318359 × 131072)
    floor (100787.5)     		tx = 100787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763896942138672 × 217)
    floor (0.763896942138672 × 131072)
    floor (100125.5)     		ty = 100125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100787 / 100125 ti = "17/100787/100125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100787/100125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100787 ÷ 217
    100787 ÷ 131072     		x = 0.768943786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100125 ÷ 217
    100125 ÷ 131072     		y = 0.763893127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768943786621094 × 2 - 1) × π
    0.537887573242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.68982365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763893127441406 × 2 - 1) × π
    -0.527786254882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.65808942095812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68982365} λ = 1.68982365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65808942095812))-π/2
    2×atan(0.19050260290639)-π/2
    2×0.188246992887195-π/2
    0.376493985774389-1.57079632675     		φ = -1.19430234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68982365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.819763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19430234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.428484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100787 KachelY 100125 1.68982365 -1.19430234 96.819763 -68.428484
    Oben rechts KachelX + 1 100788 KachelY 100125 1.68987159 -1.19430234 96.822510 -68.428484
    Unten links KachelX 100787 KachelY + 1 100126 1.68982365 -1.19431997 96.819763 -68.429494
    Unten rechts KachelX + 1 100788 KachelY + 1 100126 1.68987159 -1.19431997 96.822510 -68.429494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19430234--1.19431997) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19430234--1.19431997) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68982365-1.68987159) × cos(-1.19430234) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.367662285909161 × 6371000     		do = 112.293525744344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68982365-1.68987159) × cos(-1.19431997) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.367645890668201 × 6371000     		du = 112.288518215741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19430234)-sin(-1.19431997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367662285909161-0.367645890668201)×R²
    abs(1.68987159-1.68982365)×1.63952409597545e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.63952409597545e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.63952409597545e-05×40589641000000     		ar = 12612.6095615599m²