Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100775 / 97689
↖ ↑ ↗
← S 65.830905°
E 96.786804°		 ← 125.02 m → S 65.830905°
E 96.789551°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
S 65.832030°
E 96.786804°		 ← 125.02 m →
15 636 m²		 S 65.832030°
E 96.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768856048583984 y=0.745311737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768856048583984 × 217)
    floor (0.768856048583984 × 131072)
    floor (100775.5)     		tx = 100775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745311737060547 × 217)
    floor (0.745311737060547 × 131072)
    floor (97689.5)     		ty = 97689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100775 / 97689 ti = "17/100775/97689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100775/97689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100775 ÷ 217
    100775 ÷ 131072     		x = 0.768852233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97689 ÷ 217
    97689 ÷ 131072     		y = 0.745307922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768852233886719 × 2 - 1) × π
    0.537704467773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68924841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745307922363281 × 2 - 1) × π
    -0.490615844726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.54131513348367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68924841} λ = 1.68924841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54131513348367))-π/2
    2×atan(0.214099346975193)-π/2
    2×0.210915141089764-π/2
    0.421830282179527-1.57079632675     		φ = -1.14896604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68924841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.786804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14896604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.830905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100775 KachelY 97689 1.68924841 -1.14896604 96.786804 -65.830905
    Oben rechts KachelX + 1 100776 KachelY 97689 1.68929634 -1.14896604 96.789551 -65.830905
    Unten links KachelX 100775 KachelY + 1 97690 1.68924841 -1.14898567 96.786804 -65.832030
    Unten rechts KachelX + 1 100776 KachelY + 1 97690 1.68929634 -1.14898567 96.789551 -65.832030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14896604--1.14898567) × R
    1.96300000001592e-05 × 6371000     		dl = 125.062730001015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14896604--1.14898567) × R
    1.96300000001592e-05 × 6371000     		dr = 125.062730001015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68924841-1.68929634) × cos(-1.14896604) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409430983768186 × 6371000     		do = 125.024676348427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68924841-1.68929634) × cos(-1.14898567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409413074433652 × 6371000     		du = 125.019207517677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14896604)-sin(-1.14898567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409430983768186-0.409413074433652)×R²
    abs(1.68929634-1.68924841)×1.79093345342163e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79093345342163e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79093345342163e-05×40589641000000     		ar = 15635.5853687938m²