Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100775 / 100089
↖ ↑ ↗
← S 68.392101°
E 96.786804°		 ← 112.45 m → S 68.392101°
E 96.789551°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
S 68.393113°
E 96.786804°		 ← 112.45 m →
12 645 m²		 S 68.393113°
E 96.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768856048583984 y=0.763622283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768856048583984 × 217)
    floor (0.768856048583984 × 131072)
    floor (100775.5)     		tx = 100775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763622283935547 × 217)
    floor (0.763622283935547 × 131072)
    floor (100089.5)     		ty = 100089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100775 / 100089 ti = "17/100775/100089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100775/100089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100775 ÷ 217
    100775 ÷ 131072     		x = 0.768852233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100089 ÷ 217
    100089 ÷ 131072     		y = 0.763618469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768852233886719 × 2 - 1) × π
    0.537704467773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68924841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763618469238281 × 2 - 1) × π
    -0.527236938476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.6563636925718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68924841} λ = 1.68924841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6563636925718))-π/2
    2×atan(0.190831642490709)-π/2
    2×0.188564490187536-π/2
    0.377128980375072-1.57079632675     		φ = -1.19366735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68924841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.786804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19366735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.392101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100775 KachelY 100089 1.68924841 -1.19366735 96.786804 -68.392101
    Oben rechts KachelX + 1 100776 KachelY 100089 1.68929634 -1.19366735 96.789551 -68.392101
    Unten links KachelX 100775 KachelY + 1 100090 1.68924841 -1.19368500 96.786804 -68.393113
    Unten rechts KachelX + 1 100776 KachelY + 1 100090 1.68929634 -1.19368500 96.789551 -68.393113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19366735--1.19368500) × R
    1.76500000002022e-05 × 6371000     		dl = 112.448150001288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19366735--1.19368500) × R
    1.76500000002022e-05 × 6371000     		dr = 112.448150001288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68924841-1.68929634) × cos(-1.19366735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368252726651525 × 6371000     		do = 112.450400163414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68924841-1.68929634) × cos(-1.19368500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368236316935067 × 6371000     		du = 112.445389259084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19366735)-sin(-1.19368500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368252726651525-0.368236316935067)×R²
    abs(1.68929634-1.68924841)×1.64097164581101e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64097164581101e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64097164581101e-05×40589641000000     		ar = 12644.5577321344m²