Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100774 / 100090
↖ ↑ ↗
← S 68.393113°
E 96.784058°		 ← 112.47 m → S 68.393113°
E 96.786804°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
S 68.394124°
E 96.784058°		 ← 112.46 m →
12 647 m²		 S 68.394124°
E 96.786804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768848419189453 y=0.763629913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768848419189453 × 217)
    floor (0.768848419189453 × 131072)
    floor (100774.5)     		tx = 100774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763629913330078 × 217)
    floor (0.763629913330078 × 131072)
    floor (100090.5)     		ty = 100090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100774 / 100090 ti = "17/100774/100090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100774/100090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100774 ÷ 217
    100774 ÷ 131072     		x = 0.768844604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100090 ÷ 217
    100090 ÷ 131072     		y = 0.763626098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768844604492188 × 2 - 1) × π
    0.537689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68920047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763626098632812 × 2 - 1) × π
    -0.527252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65641162947142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68920047} λ = 1.68920047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65641162947142))-π/2
    2×atan(0.190822494832675)-π/2
    2×0.188555663937147-π/2
    0.377111327874294-1.57079632675     		φ = -1.19368500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68920047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.784058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19368500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.393113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100774 KachelY 100090 1.68920047 -1.19368500 96.784058 -68.393113
    Oben rechts KachelX + 1 100775 KachelY 100090 1.68924841 -1.19368500 96.786804 -68.393113
    Unten links KachelX 100774 KachelY + 1 100091 1.68920047 -1.19370265 96.784058 -68.394124
    Unten rechts KachelX + 1 100775 KachelY + 1 100091 1.68924841 -1.19370265 96.786804 -68.394124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19368500--1.19370265) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19368500--1.19370265) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68920047-1.68924841) × cos(-1.19368500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368236316935067 × 6371000     		do = 112.468849594694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68920047-1.68924841) × cos(-1.19370265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368219907103895 × 6371000     		du = 112.463837609865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19368500)-sin(-1.19370265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368236316935067-0.368219907103895)×R²
    abs(1.68924841-1.68920047)×1.64098311717931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64098311717931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64098311717931e-05×40589641000000     		ar = 12646.6322755214m²