Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100766 / 97683
↖ ↑ ↗
← S 65.824157°
E 96.762085°		 ← 125.08 m → S 65.824157°
E 96.764832°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
S 65.825282°
E 96.762085°		 ← 125.08 m →
15 643 m²		 S 65.825282°
E 96.764832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768787384033203 y=0.745265960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768787384033203 × 217)
    floor (0.768787384033203 × 131072)
    floor (100766.5)     		tx = 100766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745265960693359 × 217)
    floor (0.745265960693359 × 131072)
    floor (97683.5)     		ty = 97683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100766 / 97683 ti = "17/100766/97683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100766/97683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100766 ÷ 217
    100766 ÷ 131072     		x = 0.768783569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97683 ÷ 217
    97683 ÷ 131072     		y = 0.745262145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768783569335938 × 2 - 1) × π
    0.537567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68881697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745262145996094 × 2 - 1) × π
    -0.490524291992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.54102751208595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68881697} λ = 1.68881697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54102751208595))-π/2
    2×atan(0.214160935385268)-π/2
    2×0.210974029370997-π/2
    0.421948058741994-1.57079632675     		φ = -1.14884827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68881697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.762085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14884827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.824157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100766 KachelY 97683 1.68881697 -1.14884827 96.762085 -65.824157
    Oben rechts KachelX + 1 100767 KachelY 97683 1.68886491 -1.14884827 96.764832 -65.824157
    Unten links KachelX 100766 KachelY + 1 97684 1.68881697 -1.14886790 96.762085 -65.825282
    Unten rechts KachelX + 1 100767 KachelY + 1 97684 1.68886491 -1.14886790 96.764832 -65.825282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14884827--1.14886790) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dl = 125.0627299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14884827--1.14886790) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dr = 125.0627299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68881697-1.68886491) × cos(-1.14884827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409538427339074 × 6371000     		do = 125.083577228391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68881697-1.68886491) × cos(-1.14886790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409520518951176 × 6371000     		du = 125.078107545765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14884827)-sin(-1.14886790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409538427339074-0.409520518951176)×R²
    abs(1.68886491-1.68881697)×1.79083878977249e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79083878977249e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79083878977249e-05×40589641000000     		ar = 15642.9516200638m²