Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100765 / 98155
↖ ↑ ↗
← S 66.349628°
E 96.759339°		 ← 122.50 m → S 66.349628°
E 96.762085°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
S 66.350729°
E 96.759339°		 ← 122.49 m →
15 007 m²		 S 66.350729°
E 96.762085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768779754638672 y=0.748867034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768779754638672 × 217)
    floor (0.768779754638672 × 131072)
    floor (100765.5)     		tx = 100765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748867034912109 × 217)
    floor (0.748867034912109 × 131072)
    floor (98155.5)     		ty = 98155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100765 / 98155 ti = "17/100765/98155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100765/98155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100765 ÷ 217
    100765 ÷ 131072     		x = 0.768775939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98155 ÷ 217
    98155 ÷ 131072     		y = 0.748863220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768775939941406 × 2 - 1) × π
    0.537551879882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68876904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748863220214844 × 2 - 1) × π
    -0.497726440429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.56365372870661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68876904} λ = 1.68876904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56365372870661))-π/2
    2×atan(0.209369691928677)-π/2
    2×0.206388432212821-π/2
    0.412776864425642-1.57079632675     		φ = -1.15801946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68876904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.759339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15801946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.349628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100765 KachelY 98155 1.68876904 -1.15801946 96.759339 -66.349628
    Oben rechts KachelX + 1 100766 KachelY 98155 1.68881697 -1.15801946 96.762085 -66.349628
    Unten links KachelX 100765 KachelY + 1 98156 1.68876904 -1.15803869 96.759339 -66.350729
    Unten rechts KachelX + 1 100766 KachelY + 1 98156 1.68881697 -1.15803869 96.762085 -66.350729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15801946--1.15803869) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15801946--1.15803869) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68876904-1.68881697) × cos(-1.15801946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40115451023613 × 6371000     		do = 122.497355589436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68876904-1.68881697) × cos(-1.15803869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401136895281904 × 6371000     		du = 122.491976651255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15801946)-sin(-1.15803869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40115451023613-0.401136895281904)×R²
    abs(1.68881697-1.68876904)×1.76149542259751e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76149542259751e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76149542259751e-05×40589641000000     		ar = 15007.3519487457m²