Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100763 / 97621
↖ ↑ ↗
← S 65.754323°
E 96.753845°		 ← 125.42 m → S 65.754323°
E 96.756592°		 →
↑
125.44 m
↓
↑
125.44 m
↓
S 65.755451°
E 96.753845°		 ← 125.42 m →
15 733 m²		 S 65.755451°
E 96.756592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768764495849609 y=0.744792938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768764495849609 × 217)
    floor (0.768764495849609 × 131072)
    floor (100763.5)     		tx = 100763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744792938232422 × 217)
    floor (0.744792938232422 × 131072)
    floor (97621.5)     		ty = 97621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100763 / 97621 ti = "17/100763/97621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100763/97621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100763 ÷ 217
    100763 ÷ 131072     		x = 0.768760681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97621 ÷ 217
    97621 ÷ 131072     		y = 0.744789123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768760681152344 × 2 - 1) × π
    0.537521362304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.68867316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744789123535156 × 2 - 1) × π
    -0.489578247070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.5380554243095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68867316} λ = 1.68867316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5380554243095))-π/2
    2×atan(0.214798387295801)-π/2
    2×0.211583447118689-π/2
    0.423166894237377-1.57079632675     		φ = -1.14762943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68867316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.753845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14762943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.754323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100763 KachelY 97621 1.68867316 -1.14762943 96.753845 -65.754323
    Oben rechts KachelX + 1 100764 KachelY 97621 1.68872110 -1.14762943 96.756592 -65.754323
    Unten links KachelX 100763 KachelY + 1 97622 1.68867316 -1.14764912 96.753845 -65.755451
    Unten rechts KachelX + 1 100764 KachelY + 1 97622 1.68872110 -1.14764912 96.756592 -65.755451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14762943--1.14764912) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dl = 125.444990000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14762943--1.14764912) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dr = 125.444990000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68867316-1.68872110) × cos(-1.14762943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410650061903525 × 6371000     		do = 125.423099037848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68867316-1.68872110) × cos(-1.14764912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410632108619193 × 6371000     		du = 125.417615642695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14762943)-sin(-1.14764912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410650061903525-0.410632108619193)×R²
    abs(1.68872110-1.68867316)×1.79532843319619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79532843319619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79532843319619e-05×40589641000000     		ar = 15733.3554728368m²