Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100762 / 98226
↖ ↑ ↗
← S 66.427734°
E 96.751099°		 ← 122.12 m → S 66.427734°
E 96.753845°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
S 66.428832°
E 96.751099°		 ← 122.11 m →
14 914 m²		 S 66.428832°
E 96.753845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768756866455078 y=0.749408721923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768756866455078 × 217)
    floor (0.768756866455078 × 131072)
    floor (100762.5)     		tx = 100762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749408721923828 × 217)
    floor (0.749408721923828 × 131072)
    floor (98226.5)     		ty = 98226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100762 / 98226 ti = "17/100762/98226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100762/98226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100762 ÷ 217
    100762 ÷ 131072     		x = 0.768753051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98226 ÷ 217
    98226 ÷ 131072     		y = 0.749404907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768753051757812 × 2 - 1) × π
    0.537506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68862523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749404907226562 × 2 - 1) × π
    -0.498809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56705724857964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68862523} λ = 1.68862523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56705724857964))-π/2
    2×atan(0.208658309310546)-π/2
    2×0.20570682681315-π/2
    0.4114136536263-1.57079632675     		φ = -1.15938267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68862523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.751099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15938267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.427734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100762 KachelY 98226 1.68862523 -1.15938267 96.751099 -66.427734
    Oben rechts KachelX + 1 100763 KachelY 98226 1.68867316 -1.15938267 96.753845 -66.427734
    Unten links KachelX 100762 KachelY + 1 98227 1.68862523 -1.15940184 96.751099 -66.428832
    Unten rechts KachelX + 1 100763 KachelY + 1 98227 1.68867316 -1.15940184 96.753845 -66.428832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15938267--1.15940184) × R
    1.91699999998463e-05 × 6371000     		dl = 122.13206999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15938267--1.15940184) × R
    1.91699999998463e-05 × 6371000     		dr = 122.13206999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68862523-1.68867316) × cos(-1.15938267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399905423340051 × 6371000     		do = 122.115931879202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68862523-1.68867316) × cos(-1.15940184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399887852880196 × 6371000     		du = 122.110566527913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15938267)-sin(-1.15940184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399905423340051-0.399887852880196)×R²
    abs(1.68867316-1.68862523)×1.75704598554538e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75704598554538e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75704598554538e-05×40589641000000     		ar = 14913.9438999698m²