Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100760 / 98151
↖ ↑ ↗
← S 66.345220°
E 96.745605°		 ← 122.54 m → S 66.345220°
E 96.748352°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
S 66.346322°
E 96.745605°		 ← 122.54 m →
15 013 m²		 S 66.346322°
E 96.748352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768741607666016 y=0.748836517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768741607666016 × 217)
    floor (0.768741607666016 × 131072)
    floor (100760.5)     		tx = 100760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748836517333984 × 217)
    floor (0.748836517333984 × 131072)
    floor (98151.5)     		ty = 98151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100760 / 98151 ti = "17/100760/98151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100760/98151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100760 ÷ 217
    100760 ÷ 131072     		x = 0.76873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98151 ÷ 217
    98151 ÷ 131072     		y = 0.748832702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76873779296875 × 2 - 1) × π
    0.5374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68852935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748832702636719 × 2 - 1) × π
    -0.497665405273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.56346198110813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68852935} λ = 1.68852935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56346198110813))-π/2
    2×atan(0.209409841913507)-π/2
    2×0.206426895797381-π/2
    0.412853791594761-1.57079632675     		φ = -1.15794254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68852935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.745605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15794254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.345220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100760 KachelY 98151 1.68852935 -1.15794254 96.745605 -66.345220
    Oben rechts KachelX + 1 100761 KachelY 98151 1.68857729 -1.15794254 96.748352 -66.345220
    Unten links KachelX 100760 KachelY + 1 98152 1.68852935 -1.15796177 96.745605 -66.346322
    Unten rechts KachelX + 1 100761 KachelY + 1 98152 1.68857729 -1.15796177 96.748352 -66.346322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15794254--1.15796177) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15794254--1.15796177) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68852935-1.68857729) × cos(-1.15794254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401224968569528 × 6371000     		do = 122.544432931745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68852935-1.68857729) × cos(-1.15796177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401207354208718 × 6371000     		du = 122.539053052559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15794254)-sin(-1.15796177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401224968569528-0.401207354208718)×R²
    abs(1.68857729-1.68852935)×1.76143608104917e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76143608104917e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76143608104917e-05×40589641000000     		ar = 15013.1195400408m²