Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100758 / 99378
↖ ↑ ↗
← S 67.661474°
E 96.740112°		 ← 116.09 m → S 67.661474°
E 96.742859°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
S 67.662518°
E 96.740112°		 ← 116.08 m →
13 475 m²		 S 67.662518°
E 96.742859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768726348876953 y=0.758197784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768726348876953 × 217)
    floor (0.768726348876953 × 131072)
    floor (100758.5)     		tx = 100758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758197784423828 × 217)
    floor (0.758197784423828 × 131072)
    floor (99378.5)     		ty = 99378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100758 / 99378 ti = "17/100758/99378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100758/99378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100758 ÷ 217
    100758 ÷ 131072     		x = 0.768722534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99378 ÷ 217
    99378 ÷ 131072     		y = 0.758193969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768722534179688 × 2 - 1) × π
    0.537445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68843348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758193969726562 × 2 - 1) × π
    -0.516387939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62228055694194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68843348} λ = 1.68843348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62228055694194))-π/2
    2×atan(0.197447894070254)-π/2
    2×0.194940411809979-π/2
    0.389880823619958-1.57079632675     		φ = -1.18091550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68843348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.740112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18091550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.661474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100758 KachelY 99378 1.68843348 -1.18091550 96.740112 -67.661474
    Oben rechts KachelX + 1 100759 KachelY 99378 1.68848142 -1.18091550 96.742859 -67.661474
    Unten links KachelX 100758 KachelY + 1 99379 1.68843348 -1.18093372 96.740112 -67.662518
    Unten rechts KachelX + 1 100759 KachelY + 1 99379 1.68848142 -1.18093372 96.742859 -67.662518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18091550--1.18093372) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18091550--1.18093372) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68843348-1.68848142) × cos(-1.18091550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380078188046564 × 6371000     		do = 116.085661841905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68843348-1.68848142) × cos(-1.18093372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38006133531501 × 6371000     		du = 116.080514583899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18091550)-sin(-1.18093372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380078188046564-0.38006133531501)×R²
    abs(1.68848142-1.68843348)×1.68527315537181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68527315537181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68527315537181e-05×40589641000000     		ar = 13474.880768567m²