Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100757 / 98478
↖ ↑ ↗
← S 66.702997°
E 96.737366°		 ← 120.80 m → S 66.702997°
E 96.740112°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
S 66.704082°
E 96.737366°		 ← 120.79 m →
14 583 m²		 S 66.704082°
E 96.740112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768718719482422 y=0.751331329345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768718719482422 × 217)
    floor (0.768718719482422 × 131072)
    floor (100757.5)     		tx = 100757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751331329345703 × 217)
    floor (0.751331329345703 × 131072)
    floor (98478.5)     		ty = 98478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100757 / 98478 ti = "17/100757/98478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100757/98478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100757 ÷ 217
    100757 ÷ 131072     		x = 0.768714904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98478 ÷ 217
    98478 ÷ 131072     		y = 0.751327514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768714904785156 × 2 - 1) × π
    0.537429809570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.68838554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751327514648438 × 2 - 1) × π
    -0.502655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57913734728389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68838554} λ = 1.68838554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57913734728389))-π/2
    2×atan(0.206152859845058)-π/2
    2×0.203304710421541-π/2
    0.406609420843082-1.57079632675     		φ = -1.16418691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68838554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.737366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16418691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.702997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100757 KachelY 98478 1.68838554 -1.16418691 96.737366 -66.702997
    Oben rechts KachelX + 1 100758 KachelY 98478 1.68843348 -1.16418691 96.740112 -66.702997
    Unten links KachelX 100757 KachelY + 1 98479 1.68838554 -1.16420586 96.737366 -66.704082
    Unten rechts KachelX + 1 100758 KachelY + 1 98479 1.68843348 -1.16420586 96.740112 -66.704082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16418691--1.16420586) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dl = 120.730450000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16418691--1.16420586) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dr = 120.730450000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68838554-1.68843348) × cos(-1.16418691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395497468268421 × 6371000     		do = 120.79510691393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68838554-1.68843348) × cos(-1.16420586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395480063246496 × 6371000     		du = 120.789790972229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16418691)-sin(-1.16420586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395497468268421-0.395480063246496)×R²
    abs(1.68843348-1.68838554)×1.74050219248767e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74050219248767e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74050219248767e-05×40589641000000     		ar = 14583.3267179792m²