Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100757 / 98149
↖ ↑ ↗
← S 66.343016°
E 96.737366°		 ← 122.56 m → S 66.343016°
E 96.740112°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
S 66.344118°
E 96.737366°		 ← 122.55 m →
15 014 m²		 S 66.344118°
E 96.740112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768718719482422 y=0.748821258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768718719482422 × 217)
    floor (0.768718719482422 × 131072)
    floor (100757.5)     		tx = 100757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748821258544922 × 217)
    floor (0.748821258544922 × 131072)
    floor (98149.5)     		ty = 98149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100757 / 98149 ti = "17/100757/98149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100757/98149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100757 ÷ 217
    100757 ÷ 131072     		x = 0.768714904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98149 ÷ 217
    98149 ÷ 131072     		y = 0.748817443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768714904785156 × 2 - 1) × π
    0.537429809570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.68838554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748817443847656 × 2 - 1) × π
    -0.497634887695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.56336610730889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68838554} λ = 1.68838554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56336610730889))-π/2
    2×atan(0.209429919793106)-π/2
    2×0.206446130123182-π/2
    0.412892260246364-1.57079632675     		φ = -1.15790407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68838554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.737366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15790407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.343016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100757 KachelY 98149 1.68838554 -1.15790407 96.737366 -66.343016
    Oben rechts KachelX + 1 100758 KachelY 98149 1.68843348 -1.15790407 96.740112 -66.343016
    Unten links KachelX 100757 KachelY + 1 98150 1.68838554 -1.15792330 96.737366 -66.344118
    Unten rechts KachelX + 1 100758 KachelY + 1 98150 1.68843348 -1.15792330 96.740112 -66.344118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15790407--1.15792330) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15790407--1.15792330) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68838554-1.68843348) × cos(-1.15790407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401260206005674 × 6371000     		do = 122.555195351755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68838554-1.68843348) × cos(-1.15792330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401242591941687 × 6371000     		du = 122.549815563228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15790407)-sin(-1.15792330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401260206005674-0.401242591941687)×R²
    abs(1.68843348-1.68838554)×1.76140639865374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76140639865374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76140639865374e-05×40589641000000     		ar = 15014.4380962473m²