Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100756 / 98490
↖ ↑ ↗
← S 66.716028°
E 96.734619°		 ← 120.73 m → S 66.716028°
E 96.737366°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
S 66.717114°
E 96.734619°		 ← 120.73 m →
14 576 m²		 S 66.717114°
E 96.737366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768711090087891 y=0.751422882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768711090087891 × 217)
    floor (0.768711090087891 × 131072)
    floor (100756.5)     		tx = 100756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751422882080078 × 217)
    floor (0.751422882080078 × 131072)
    floor (98490.5)     		ty = 98490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100756 / 98490 ti = "17/100756/98490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100756/98490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100756 ÷ 217
    100756 ÷ 131072     		x = 0.768707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98490 ÷ 217
    98490 ÷ 131072     		y = 0.751419067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768707275390625 × 2 - 1) × π
    0.53741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68833760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751419067382812 × 2 - 1) × π
    -0.502838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57971259007933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68833760} λ = 1.68833760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57971259007933))-π/2
    2×atan(0.206034305999565)-π/2
    2×0.203190986931903-π/2
    0.406381973863805-1.57079632675     		φ = -1.16441435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68833760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.734619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16441435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.716028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100756 KachelY 98490 1.68833760 -1.16441435 96.734619 -66.716028
    Oben rechts KachelX + 1 100757 KachelY 98490 1.68838554 -1.16441435 96.737366 -66.716028
    Unten links KachelX 100756 KachelY + 1 98491 1.68833760 -1.16443330 96.734619 -66.717114
    Unten rechts KachelX + 1 100757 KachelY + 1 98491 1.68838554 -1.16443330 96.737366 -66.717114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16441435--1.16443330) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dl = 120.730450000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16441435--1.16443330) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dr = 120.730450000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68833760-1.68838554) × cos(-1.16441435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395288561891239 × 6371000     		do = 120.731301529088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68833760-1.68838554) × cos(-1.16443330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395271155165213 × 6371000     		du = 120.725985066911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16441435)-sin(-1.16443330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395288561891239-0.395271155165213)×R²
    abs(1.68838554-1.68833760)×1.74067260265143e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74067260265143e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74067260265143e-05×40589641000000     		ar = 14575.6234338005m²