Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100756 / 97677
↖ ↑ ↗
← S 65.817407°
E 96.734619°		 ← 125.12 m → S 65.817407°
E 96.737366°		 →
↑
125.13 m
↓
↑
125.13 m
↓
S 65.818532°
E 96.734619°		 ← 125.11 m →
15 655 m²		 S 65.818532°
E 96.737366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768711090087891 y=0.745220184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768711090087891 × 217)
    floor (0.768711090087891 × 131072)
    floor (100756.5)     		tx = 100756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745220184326172 × 217)
    floor (0.745220184326172 × 131072)
    floor (97677.5)     		ty = 97677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100756 / 97677 ti = "17/100756/97677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100756/97677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100756 ÷ 217
    100756 ÷ 131072     		x = 0.768707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97677 ÷ 217
    97677 ÷ 131072     		y = 0.745216369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768707275390625 × 2 - 1) × π
    0.53741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68833760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745216369628906 × 2 - 1) × π
    -0.490432739257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54073989068822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68833760} λ = 1.68833760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54073989068822))-π/2
    2×atan(0.214222541512037)-π/2
    2×0.211032933106245-π/2
    0.42206586621249-1.57079632675     		φ = -1.14873046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68833760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.734619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14873046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.817407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100756 KachelY 97677 1.68833760 -1.14873046 96.734619 -65.817407
    Oben rechts KachelX + 1 100757 KachelY 97677 1.68838554 -1.14873046 96.737366 -65.817407
    Unten links KachelX 100756 KachelY + 1 97678 1.68833760 -1.14875010 96.734619 -65.818532
    Unten rechts KachelX + 1 100757 KachelY + 1 97678 1.68838554 -1.14875010 96.737366 -65.818532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14873046--1.14875010) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dl = 125.126440000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14873046--1.14875010) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dr = 125.126440000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68833760-1.68838554) × cos(-1.14873046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409645901719542 × 6371000     		do = 125.116402670576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68833760-1.68838554) × cos(-1.14875010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409627985156324 × 6371000     		du = 125.110930490997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14873046)-sin(-1.14875010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409645901719542-0.409627985156324)×R²
    abs(1.68838554-1.68833760)×1.79165632180345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79165632180345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79165632180345e-05×40589641000000     		ar = 15655.0276952107m²