Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100754 / 97681
↖ ↑ ↗
← S 65.821907°
E 96.729126°		 ← 125.09 m → S 65.821907°
E 96.731873°		 →
↑
125.13 m
↓
↑
125.13 m
↓
S 65.823032°
E 96.729126°		 ← 125.09 m →
15 652 m²		 S 65.823032°
E 96.731873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768695831298828 y=0.745250701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768695831298828 × 217)
    floor (0.768695831298828 × 131072)
    floor (100754.5)     		tx = 100754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745250701904297 × 217)
    floor (0.745250701904297 × 131072)
    floor (97681.5)     		ty = 97681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100754 / 97681 ti = "17/100754/97681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100754/97681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100754 ÷ 217
    100754 ÷ 131072     		x = 0.768692016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97681 ÷ 217
    97681 ÷ 131072     		y = 0.745246887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768692016601562 × 2 - 1) × π
    0.537384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68824173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745246887207031 × 2 - 1) × π
    -0.490493774414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54093163828671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68824173} λ = 1.68824173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54093163828671))-π/2
    2×atan(0.214181468792085)-π/2
    2×0.21099366223214-π/2
    0.421987324464281-1.57079632675     		φ = -1.14880900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68824173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.729126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14880900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.821907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100754 KachelY 97681 1.68824173 -1.14880900 96.729126 -65.821907
    Oben rechts KachelX + 1 100755 KachelY 97681 1.68828967 -1.14880900 96.731873 -65.821907
    Unten links KachelX 100754 KachelY + 1 97682 1.68824173 -1.14882864 96.729126 -65.823032
    Unten rechts KachelX + 1 100755 KachelY + 1 97682 1.68828967 -1.14882864 96.731873 -65.823032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14880900--1.14882864) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dl = 125.126440000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14880900--1.14882864) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dr = 125.126440000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68824173-1.68828967) × cos(-1.14880900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4095742527642 × 6371000     		do = 125.094519235371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68824173-1.68828967) × cos(-1.14882864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409556335569161 × 6371000     		du = 125.089046862817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14880900)-sin(-1.14882864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4095742527642-0.409556335569161)×R²
    abs(1.68828967-1.68824173)×1.79171950382973e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79171950382973e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79171950382973e-05×40589641000000     		ar = 15652.2894867776m²