Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100753 / 99921
↖ ↑ ↗
← S 68.221542°
E 96.726379°		 ← 113.32 m → S 68.221542°
E 96.729126°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
S 68.222561°
E 96.726379°		 ← 113.31 m →
12 843 m²		 S 68.222561°
E 96.729126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768688201904297 y=0.762340545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768688201904297 × 217)
    floor (0.768688201904297 × 131072)
    floor (100753.5)     		tx = 100753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762340545654297 × 217)
    floor (0.762340545654297 × 131072)
    floor (99921.5)     		ty = 99921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100753 / 99921 ti = "17/100753/99921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100753/99921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100753 ÷ 217
    100753 ÷ 131072     		x = 0.768684387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99921 ÷ 217
    99921 ÷ 131072     		y = 0.762336730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768684387207031 × 2 - 1) × π
    0.537368774414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68819379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762336730957031 × 2 - 1) × π
    -0.524673461914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.64831029343563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68819379} λ = 1.68819379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64831029343563))-π/2
    2×atan(0.192374690928161)-π/2
    2×0.190052896341892-π/2
    0.380105792683783-1.57079632675     		φ = -1.19069053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68819379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.726379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19069053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.221542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100753 KachelY 99921 1.68819379 -1.19069053 96.726379 -68.221542
    Oben rechts KachelX + 1 100754 KachelY 99921 1.68824173 -1.19069053 96.729126 -68.221542
    Unten links KachelX 100753 KachelY + 1 99922 1.68819379 -1.19070832 96.726379 -68.222561
    Unten rechts KachelX + 1 100754 KachelY + 1 99922 1.68824173 -1.19070832 96.729126 -68.222561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19069053--1.19070832) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19069053--1.19070832) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68819379-1.68824173) × cos(-1.19069053) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.371018717078928 × 6371000     		do = 113.318666218133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68819379-1.68824173) × cos(-1.19070832) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.371002196774562 × 6371000     		du = 113.313620491947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19069053)-sin(-1.19070832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371018717078928-0.371002196774562)×R²
    abs(1.68824173-1.68819379)×1.65203043656637e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.65203043656637e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.65203043656637e-05×40589641000000     		ar = 12843.2618867381m²