Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100752 / 97680
↖ ↑ ↗
← S 65.820782°
E 96.723633°		 ← 125.07 m → S 65.820782°
E 96.726379°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
S 65.821907°
E 96.723633°		 ← 125.07 m →
15 642 m²		 S 65.821907°
E 96.726379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768680572509766 y=0.745243072509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768680572509766 × 217)
    floor (0.768680572509766 × 131072)
    floor (100752.5)     		tx = 100752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745243072509766 × 217)
    floor (0.745243072509766 × 131072)
    floor (97680.5)     		ty = 97680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100752 / 97680 ti = "17/100752/97680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100752/97680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100752 ÷ 217
    100752 ÷ 131072     		x = 0.7686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97680 ÷ 217
    97680 ÷ 131072     		y = 0.7452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7686767578125 × 2 - 1) × π
    0.537353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68814586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.490478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54088370138709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68814586} λ = 1.68814586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54088370138709))-π/2
    2×atan(0.214191736233747)-π/2
    2×0.211003479306667-π/2
    0.422006958613333-1.57079632675     		φ = -1.14878937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68814586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14878937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.820782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100752 KachelY 97680 1.68814586 -1.14878937 96.723633 -65.820782
    Oben rechts KachelX + 1 100753 KachelY 97680 1.68819379 -1.14878937 96.726379 -65.820782
    Unten links KachelX 100752 KachelY + 1 97681 1.68814586 -1.14880900 96.723633 -65.821907
    Unten rechts KachelX + 1 100753 KachelY + 1 97681 1.68819379 -1.14880900 96.726379 -65.821907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14878937--1.14880900) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dl = 125.0627299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14878937--1.14880900) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dr = 125.0627299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68814586-1.68819379) × cos(-1.14878937) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.409592160678565 × 6371000     		do = 125.07389365639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68814586-1.68819379) × cos(-1.14880900) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.4095742527642 × 6371000     		du = 125.068425259306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14878937)-sin(-1.14880900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409592160678565-0.4095742527642)×R²
    abs(1.68819379-1.68814586)×1.7907914365789e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.7907914365789e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.7907914365789e-05×40589641000000     		ar = 15641.7406463659m²