Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100750 / 99197
↖ ↑ ↗
← S 67.471765°
E 96.718139°		 ← 117.02 m → S 67.471765°
E 96.720886°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
S 67.472818°
E 96.718139°		 ← 117.02 m →
13 695 m²		 S 67.472818°
E 96.720886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768665313720703 y=0.756816864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768665313720703 × 217)
    floor (0.768665313720703 × 131072)
    floor (100750.5)     		tx = 100750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756816864013672 × 217)
    floor (0.756816864013672 × 131072)
    floor (99197.5)     		ty = 99197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100750 / 99197 ti = "17/100750/99197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100750/99197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100750 ÷ 217
    100750 ÷ 131072     		x = 0.768661499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99197 ÷ 217
    99197 ÷ 131072     		y = 0.756813049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768661499023438 × 2 - 1) × π
    0.537322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68804998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756813049316406 × 2 - 1) × π
    -0.513626098632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.61360397811071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68804998} λ = 1.68804998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61360397811071))-π/2
    2×atan(0.199168520067286)-π/2
    2×0.196595932224533-π/2
    0.393191864449067-1.57079632675     		φ = -1.17760446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68804998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.718139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17760446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.471765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100750 KachelY 99197 1.68804998 -1.17760446 96.718139 -67.471765
    Oben rechts KachelX + 1 100751 KachelY 99197 1.68809792 -1.17760446 96.720886 -67.471765
    Unten links KachelX 100750 KachelY + 1 99198 1.68804998 -1.17762283 96.718139 -67.472818
    Unten rechts KachelX + 1 100751 KachelY + 1 99198 1.68809792 -1.17762283 96.720886 -67.472818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17760446--1.17762283) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17760446--1.17762283) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68804998-1.68809792) × cos(-1.17760446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383138659946068 × 6371000     		do = 117.020408736559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68804998-1.68809792) × cos(-1.17762283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383121691680698 × 6371000     		du = 117.015226191552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17760446)-sin(-1.17762283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383138659946068-0.383121691680698)×R²
    abs(1.68809792-1.68804998)×1.69682653698433e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69682653698433e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69682653698433e-05×40589641000000     		ar = 13695.2118620207m²