Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100750 / 98646
↖ ↑ ↗
← S 66.884815°
E 96.718139°		 ← 119.90 m → S 66.884815°
E 96.720886°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
S 66.885894°
E 96.718139°		 ← 119.90 m →
14 376 m²		 S 66.885894°
E 96.720886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768665313720703 y=0.752613067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768665313720703 × 217)
    floor (0.768665313720703 × 131072)
    floor (100750.5)     		tx = 100750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752613067626953 × 217)
    floor (0.752613067626953 × 131072)
    floor (98646.5)     		ty = 98646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100750 / 98646 ti = "17/100750/98646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100750/98646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100750 ÷ 217
    100750 ÷ 131072     		x = 0.768661499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98646 ÷ 217
    98646 ÷ 131072     		y = 0.752609252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768661499023438 × 2 - 1) × π
    0.537322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68804998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752609252929688 × 2 - 1) × π
    -0.505218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58719074642006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68804998} λ = 1.68804998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58719074642006))-π/2
    2×atan(0.204499295923913)-π/2
    2×0.201718038965257-π/2
    0.403436077930514-1.57079632675     		φ = -1.16736025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68804998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.718139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16736025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.884815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100750 KachelY 98646 1.68804998 -1.16736025 96.718139 -66.884815
    Oben rechts KachelX + 1 100751 KachelY 98646 1.68809792 -1.16736025 96.720886 -66.884815
    Unten links KachelX 100750 KachelY + 1 98647 1.68804998 -1.16737907 96.718139 -66.885894
    Unten rechts KachelX + 1 100751 KachelY + 1 98647 1.68809792 -1.16737907 96.720886 -66.885894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16736025--1.16737907) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16736025--1.16737907) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68804998-1.68809792) × cos(-1.16736025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392580873533499 × 6371000     		do = 119.904303808737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68804998-1.68809792) × cos(-1.16737907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392563564380851 × 6371000     		du = 119.899017147981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16736025)-sin(-1.16737907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392580873533499-0.392563564380851)×R²
    abs(1.68809792-1.68804998)×1.73091526477487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73091526477487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73091526477487e-05×40589641000000     		ar = 14376.4752735179m²