Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100749 / 99858
↖ ↑ ↗
← S 68.157253°
E 96.715393°		 ← 113.61 m → S 68.157253°
E 96.718139°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 68.158275°
E 96.715393°		 ← 113.61 m →
12 906 m²		 S 68.158275°
E 96.718139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768657684326172 y=0.761859893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768657684326172 × 217)
    floor (0.768657684326172 × 131072)
    floor (100749.5)     		tx = 100749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761859893798828 × 217)
    floor (0.761859893798828 × 131072)
    floor (99858.5)     		ty = 99858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100749 / 99858 ti = "17/100749/99858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100749/99858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100749 ÷ 217
    100749 ÷ 131072     		x = 0.768653869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99858 ÷ 217
    99858 ÷ 131072     		y = 0.761856079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768653869628906 × 2 - 1) × π
    0.537307739257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68800205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761856079101562 × 2 - 1) × π
    -0.523712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64529026875957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68800205} λ = 1.68800205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64529026875957))-π/2
    2×atan(0.192956545407021)-π/2
    2×0.190613925386378-π/2
    0.381227850772757-1.57079632675     		φ = -1.18956848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68800205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.715393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18956848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.157253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100749 KachelY 99858 1.68800205 -1.18956848 96.715393 -68.157253
    Oben rechts KachelX + 1 100750 KachelY 99858 1.68804998 -1.18956848 96.718139 -68.157253
    Unten links KachelX 100749 KachelY + 1 99859 1.68800205 -1.18958631 96.715393 -68.158275
    Unten rechts KachelX + 1 100750 KachelY + 1 99859 1.68804998 -1.18958631 96.718139 -68.158275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18956848--1.18958631) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18956848--1.18958631) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68800205-1.68804998) × cos(-1.18956848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372060447421547 × 6371000     		do = 113.613133507421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68800205-1.68804998) × cos(-1.18958631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372043897404813 × 6371000     		du = 113.608079760715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18956848)-sin(-1.18958631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372060447421547-0.372043897404813)×R²
    abs(1.68804998-1.68800205)×1.6550016733119e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6550016733119e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6550016733119e-05×40589641000000     		ar = 12905.5889080681m²