Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100749 / 99195
↖ ↑ ↗
← S 67.469661°
E 96.715393°		 ← 117.01 m → S 67.469661°
E 96.718139°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
S 67.470714°
E 96.715393°		 ← 117 m →
13 694 m²		 S 67.470714°
E 96.718139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768657684326172 y=0.756801605224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768657684326172 × 217)
    floor (0.768657684326172 × 131072)
    floor (100749.5)     		tx = 100749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756801605224609 × 217)
    floor (0.756801605224609 × 131072)
    floor (99195.5)     		ty = 99195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100749 / 99195 ti = "17/100749/99195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100749/99195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100749 ÷ 217
    100749 ÷ 131072     		x = 0.768653869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99195 ÷ 217
    99195 ÷ 131072     		y = 0.756797790527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768653869628906 × 2 - 1) × π
    0.537307739257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68800205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756797790527344 × 2 - 1) × π
    -0.513595581054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.61350810431147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68800205} λ = 1.68800205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61350810431147))-π/2
    2×atan(0.19918761602538)-π/2
    2×0.196614299517179-π/2
    0.393228599034358-1.57079632675     		φ = -1.17756773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68800205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.715393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17756773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.469661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100749 KachelY 99195 1.68800205 -1.17756773 96.715393 -67.469661
    Oben rechts KachelX + 1 100750 KachelY 99195 1.68804998 -1.17756773 96.718139 -67.469661
    Unten links KachelX 100749 KachelY + 1 99196 1.68800205 -1.17758610 96.715393 -67.470714
    Unten rechts KachelX + 1 100750 KachelY + 1 99196 1.68804998 -1.17758610 96.718139 -67.470714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17756773--1.17758610) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17756773--1.17758610) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68800205-1.68804998) × cos(-1.17756773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383172586852155 × 6371000     		do = 117.006358961597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68800205-1.68804998) × cos(-1.17758610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383155618845307 × 6371000     		du = 117.001177576581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17756773)-sin(-1.17758610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383172586852155-0.383155618845307)×R²
    abs(1.68804998-1.68800205)×1.69680068489719e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69680068489719e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69680068489719e-05×40589641000000     		ar = 13693.5676107775m²