Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100749 / 98482
↖ ↑ ↗
← S 66.707341°
E 96.715393°		 ← 120.75 m → S 66.707341°
E 96.718139°		 →
↑
120.79 m
↓
↑
120.79 m
↓
S 66.708427°
E 96.715393°		 ← 120.74 m →
14 585 m²		 S 66.708427°
E 96.718139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768657684326172 y=0.751361846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768657684326172 × 217)
    floor (0.768657684326172 × 131072)
    floor (100749.5)     		tx = 100749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751361846923828 × 217)
    floor (0.751361846923828 × 131072)
    floor (98482.5)     		ty = 98482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100749 / 98482 ti = "17/100749/98482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100749/98482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100749 ÷ 217
    100749 ÷ 131072     		x = 0.768653869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98482 ÷ 217
    98482 ÷ 131072     		y = 0.751358032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768653869628906 × 2 - 1) × π
    0.537307739257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68800205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751358032226562 × 2 - 1) × π
    -0.502716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57932909488237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68800205} λ = 1.68800205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57932909488237))-π/2
    2×atan(0.206113334318846)-π/2
    2×0.203266795915081-π/2
    0.406533591830162-1.57079632675     		φ = -1.16426273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68800205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.715393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16426273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.707341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100749 KachelY 98482 1.68800205 -1.16426273 96.715393 -66.707341
    Oben rechts KachelX + 1 100750 KachelY 98482 1.68804998 -1.16426273 96.718139 -66.707341
    Unten links KachelX 100749 KachelY + 1 98483 1.68800205 -1.16428169 96.715393 -66.708427
    Unten rechts KachelX + 1 100750 KachelY + 1 98483 1.68804998 -1.16428169 96.718139 -66.708427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16426273--1.16428169) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dl = 120.794160000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16426273--1.16428169) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dr = 120.794160000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68800205-1.68804998) × cos(-1.16426273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395427828958699 × 6371000     		do = 120.748644569395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68800205-1.68804998) × cos(-1.16428169) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395410414183545 × 6371000     		du = 120.743326758302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16426273)-sin(-1.16428169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395427828958699-0.395410414183545)×R²
    abs(1.68804998-1.68800205)×1.74147751541565e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74147751541565e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74147751541565e-05×40589641000000     		ar = 14585.4099121325m²