Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100745 / 98216
↖ ↑ ↗
← S 66.416748°
E 96.704407°		 ← 122.20 m → S 66.416748°
E 96.707154°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
S 66.417847°
E 96.704407°		 ← 122.19 m →
14 931 m²		 S 66.417847°
E 96.707154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768627166748047 y=0.749332427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768627166748047 × 217)
    floor (0.768627166748047 × 131072)
    floor (100745.5)     		tx = 100745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749332427978516 × 217)
    floor (0.749332427978516 × 131072)
    floor (98216.5)     		ty = 98216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100745 / 98216 ti = "17/100745/98216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100745/98216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100745 ÷ 217
    100745 ÷ 131072     		x = 0.768623352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98216 ÷ 217
    98216 ÷ 131072     		y = 0.74932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768623352050781 × 2 - 1) × π
    0.537246704101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.68781030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.4986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56657787958344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68781030} λ = 1.68781030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56657787958344))-π/2
    2×atan(0.20875835761294)-π/2
    2×0.205802699002626-π/2
    0.411605398005252-1.57079632675     		φ = -1.15919093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68781030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.704407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15919093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.416748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100745 KachelY 98216 1.68781030 -1.15919093 96.704407 -66.416748
    Oben rechts KachelX + 1 100746 KachelY 98216 1.68785824 -1.15919093 96.707154 -66.416748
    Unten links KachelX 100745 KachelY + 1 98217 1.68781030 -1.15921011 96.704407 -66.417847
    Unten rechts KachelX + 1 100746 KachelY + 1 98217 1.68785824 -1.15921011 96.707154 -66.417847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15919093--1.15921011) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15919093--1.15921011) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68781030-1.68785824) × cos(-1.15919093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400081156513886 × 6371000     		do = 122.195083288229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68781030-1.68785824) × cos(-1.15921011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400063578359362 × 6371000     		du = 122.189714467376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15919093)-sin(-1.15921011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400081156513886-0.400063578359362)×R²
    abs(1.68785824-1.68781030)×1.75781545240783e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75781545240783e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75781545240783e-05×40589641000000     		ar = 14931.3954913975m²