Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100743 / 98215
↖ ↑ ↗
← S 66.415649°
E 96.698913°		 ← 122.20 m → S 66.415649°
E 96.701660°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
S 66.416748°
E 96.698913°		 ← 122.20 m →
14 932 m²		 S 66.416748°
E 96.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768611907958984 y=0.749324798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768611907958984 × 217)
    floor (0.768611907958984 × 131072)
    floor (100743.5)     		tx = 100743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749324798583984 × 217)
    floor (0.749324798583984 × 131072)
    floor (98215.5)     		ty = 98215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100743 / 98215 ti = "17/100743/98215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100743/98215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100743 ÷ 217
    100743 ÷ 131072     		x = 0.768608093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98215 ÷ 217
    98215 ÷ 131072     		y = 0.749320983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768608093261719 × 2 - 1) × π
    0.537216186523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68771442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749320983886719 × 2 - 1) × π
    -0.498641967773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.56652994268382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68771442} λ = 1.68771442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56652994268382))-π/2
    2×atan(0.208768365081236)-π/2
    2×0.20581228853842-π/2
    0.41162457707684-1.57079632675     		φ = -1.15917175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68771442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.698913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15917175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.415649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100743 KachelY 98215 1.68771442 -1.15917175 96.698913 -66.415649
    Oben rechts KachelX + 1 100744 KachelY 98215 1.68776236 -1.15917175 96.701660 -66.415649
    Unten links KachelX 100743 KachelY + 1 98216 1.68771442 -1.15919093 96.698913 -66.416748
    Unten rechts KachelX + 1 100744 KachelY + 1 98216 1.68776236 -1.15919093 96.701660 -66.416748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15917175--1.15919093) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15917175--1.15919093) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68771442-1.68776236) × cos(-1.15917175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400098734521232 × 6371000     		do = 122.200452064131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68771442-1.68776236) × cos(-1.15919093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400081156513886 × 6371000     		du = 122.195083288229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15917175)-sin(-1.15919093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400098734521232-0.400081156513886)×R²
    abs(1.68776236-1.68771442)×1.75780073453091e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75780073453091e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75780073453091e-05×40589641000000     		ar = 14932.0515357857m²