Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100742 / 99204
↖ ↑ ↗
← S 67.479131°
E 96.696167°		 ← 116.96 m → S 67.479131°
E 96.698913°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
S 67.480183°
E 96.696167°		 ← 116.95 m →
13 681 m²		 S 67.480183°
E 96.698913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768604278564453 y=0.756870269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768604278564453 × 217)
    floor (0.768604278564453 × 131072)
    floor (100742.5)     		tx = 100742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756870269775391 × 217)
    floor (0.756870269775391 × 131072)
    floor (99204.5)     		ty = 99204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100742 / 99204 ti = "17/100742/99204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100742/99204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100742 ÷ 217
    100742 ÷ 131072     		x = 0.768600463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99204 ÷ 217
    99204 ÷ 131072     		y = 0.756866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768600463867188 × 2 - 1) × π
    0.537200927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68766649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756866455078125 × 2 - 1) × π
    -0.51373291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61393953640805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68766649} λ = 1.68766649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61393953640805))-π/2
    2×atan(0.19910169862968)-π/2
    2×0.196531659508133-π/2
    0.393063319016265-1.57079632675     		φ = -1.17773301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68766649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.696167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17773301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.479131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100742 KachelY 99204 1.68766649 -1.17773301 96.696167 -67.479131
    Oben rechts KachelX + 1 100743 KachelY 99204 1.68771442 -1.17773301 96.698913 -67.479131
    Unten links KachelX 100742 KachelY + 1 99205 1.68766649 -1.17775137 96.696167 -67.480183
    Unten rechts KachelX + 1 100743 KachelY + 1 99205 1.68771442 -1.17775137 96.698913 -67.480183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17773301--1.17775137) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dl = 116.971559999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17773301--1.17775137) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dr = 116.971559999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68766649-1.68771442) × cos(-1.17773301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383019916323255 × 6371000     		do = 116.959739178971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68766649-1.68771442) × cos(-1.17775137) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383002956390748 × 6371000     		du = 116.954560259552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17773301)-sin(-1.17775137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383019916323255-0.383002956390748)×R²
    abs(1.68771442-1.68766649)×1.6959932506222e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6959932506222e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6959932506222e-05×40589641000000     		ar = 13680.6602560969m²