Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100741 / 97915
↖ ↑ ↗
← S 66.083798°
E 96.693420°		 ← 123.82 m → S 66.083798°
E 96.696167°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
S 66.084911°
E 96.693420°		 ← 123.81 m →
15 327 m²		 S 66.084911°
E 96.696167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768596649169922 y=0.747035980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768596649169922 × 217)
    floor (0.768596649169922 × 131072)
    floor (100741.5)     		tx = 100741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747035980224609 × 217)
    floor (0.747035980224609 × 131072)
    floor (97915.5)     		ty = 97915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100741 / 97915 ti = "17/100741/97915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100741/97915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100741 ÷ 217
    100741 ÷ 131072     		x = 0.768592834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97915 ÷ 217
    97915 ÷ 131072     		y = 0.747032165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768592834472656 × 2 - 1) × π
    0.537185668945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.68761855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747032165527344 × 2 - 1) × π
    -0.494064331054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.5521488727978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68761855} λ = 1.68761855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5521488727978))-π/2
    2×atan(0.211792369622458)-π/2
    2×0.208708238610241-π/2
    0.417416477220481-1.57079632675     		φ = -1.15337985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68761855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.693420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15337985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.083798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100741 KachelY 97915 1.68761855 -1.15337985 96.693420 -66.083798
    Oben rechts KachelX + 1 100742 KachelY 97915 1.68766649 -1.15337985 96.696167 -66.083798
    Unten links KachelX 100741 KachelY + 1 97916 1.68761855 -1.15339928 96.693420 -66.084911
    Unten rechts KachelX + 1 100742 KachelY + 1 97916 1.68766649 -1.15339928 96.696167 -66.084911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15337985--1.15339928) × R
    1.94299999998204e-05 × 6371000     		dl = 123.788529998856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15337985--1.15339928) × R
    1.94299999998204e-05 × 6371000     		dr = 123.788529998856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68761855-1.68766649) × cos(-1.15337985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405400108401558 × 6371000     		do = 123.819628104545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68761855-1.68766649) × cos(-1.15339928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405382346597455 × 6371000     		du = 123.814203192383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15337985)-sin(-1.15339928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405400108401558-0.405382346597455)×R²
    abs(1.68766649-1.68761855)×1.77618041030114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77618041030114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77618041030114e-05×40589641000000     		ar = 15327.1139775207m²