Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100739 / 97770
↖ ↑ ↗
← S 65.921832°
E 96.687927°		 ← 124.58 m → S 65.921832°
E 96.690674°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.922952°
E 96.687927°		 ← 124.58 m →
15 517 m²		 S 65.922952°
E 96.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768581390380859 y=0.745929718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768581390380859 × 217)
    floor (0.768581390380859 × 131072)
    floor (100739.5)     		tx = 100739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745929718017578 × 217)
    floor (0.745929718017578 × 131072)
    floor (97770.5)     		ty = 97770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100739 / 97770 ti = "17/100739/97770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100739/97770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100739 ÷ 217
    100739 ÷ 131072     		x = 0.768577575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97770 ÷ 217
    97770 ÷ 131072     		y = 0.745925903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768577575683594 × 2 - 1) × π
    0.537155151367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.68752268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745925903320312 × 2 - 1) × π
    -0.491851806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54519802235289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68752268} λ = 1.68752268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54519802235289))-π/2
    2×atan(0.213269634886284)-π/2
    2×0.210121660217464-π/2
    0.420243320434927-1.57079632675     		φ = -1.15055301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68752268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.687927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15055301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.921832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100739 KachelY 97770 1.68752268 -1.15055301 96.687927 -65.921832
    Oben rechts KachelX + 1 100740 KachelY 97770 1.68757061 -1.15055301 96.690674 -65.921832
    Unten links KachelX 100739 KachelY + 1 97771 1.68752268 -1.15057256 96.687927 -65.922952
    Unten rechts KachelX + 1 100740 KachelY + 1 97771 1.68757061 -1.15057256 96.690674 -65.922952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15055301--1.15057256) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15055301--1.15057256) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68752268-1.68757061) × cos(-1.15055301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407982610861456 × 6371000     		do = 124.582398257431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68752268-1.68757061) × cos(-1.15057256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40796476183489 × 6371000     		du = 124.576947842445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15055301)-sin(-1.15057256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407982610861456-0.40796476183489)×R²
    abs(1.68757061-1.68752268)×1.78490265669295e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78490265669295e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78490265669295e-05×40589641000000     		ar = 15516.7782468151m²