Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100737 / 98689
↖ ↑ ↗
← S 66.931136°
E 96.682434°		 ← 119.68 m → S 66.931136°
E 96.685181°		 →
↑
119.71 m
↓
↑
119.71 m
↓
S 66.932213°
E 96.682434°		 ← 119.67 m →
14 326 m²		 S 66.932213°
E 96.685181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768566131591797 y=0.752941131591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768566131591797 × 217)
    floor (0.768566131591797 × 131072)
    floor (100737.5)     		tx = 100737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752941131591797 × 217)
    floor (0.752941131591797 × 131072)
    floor (98689.5)     		ty = 98689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100737 / 98689 ti = "17/100737/98689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100737/98689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100737 ÷ 217
    100737 ÷ 131072     		x = 0.768562316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98689 ÷ 217
    98689 ÷ 131072     		y = 0.752937316894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768562316894531 × 2 - 1) × π
    0.537124633789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68742680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752937316894531 × 2 - 1) × π
    -0.505874633789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.58925203310372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68742680} λ = 1.68742680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58925203310372))-π/2
    2×atan(0.204078198398867)-π/2
    2×0.20131381143347-π/2
    0.40262762286694-1.57079632675     		φ = -1.16816870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68742680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.682434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16816870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.931136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100737 KachelY 98689 1.68742680 -1.16816870 96.682434 -66.931136
    Oben rechts KachelX + 1 100738 KachelY 98689 1.68747474 -1.16816870 96.685181 -66.931136
    Unten links KachelX 100737 KachelY + 1 98690 1.68742680 -1.16818749 96.682434 -66.932213
    Unten rechts KachelX + 1 100738 KachelY + 1 98690 1.68747474 -1.16818749 96.685181 -66.932213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16816870--1.16818749) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dl = 119.711089999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16816870--1.16818749) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dr = 119.711089999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68742680-1.68747474) × cos(-1.16816870) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.391837199717585 × 6371000     		do = 119.677166683747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68742680-1.68747474) × cos(-1.16818749) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.391819912198855 × 6371000     		du = 119.671886630546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16816870)-sin(-1.16818749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391837199717585-0.391819912198855)×R²
    abs(1.68747474-1.68742680)×1.72875187300359e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.72875187300359e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.72875187300359e-05×40589641000000     		ar = 14326.3680318289m²