Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100737 / 97913
↖ ↑ ↗
← S 66.081570°
E 96.682434°		 ← 123.83 m → S 66.081570°
E 96.685181°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
S 66.082684°
E 96.682434°		 ← 123.83 m →
15 336 m²		 S 66.082684°
E 96.685181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768566131591797 y=0.747020721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768566131591797 × 217)
    floor (0.768566131591797 × 131072)
    floor (100737.5)     		tx = 100737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747020721435547 × 217)
    floor (0.747020721435547 × 131072)
    floor (97913.5)     		ty = 97913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100737 / 97913 ti = "17/100737/97913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100737/97913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100737 ÷ 217
    100737 ÷ 131072     		x = 0.768562316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97913 ÷ 217
    97913 ÷ 131072     		y = 0.747016906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768562316894531 × 2 - 1) × π
    0.537124633789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68742680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747016906738281 × 2 - 1) × π
    -0.494033813476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.55205299899856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68742680} λ = 1.68742680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55205299899856))-π/2
    2×atan(0.21181267593499)-π/2
    2×0.208727673086183-π/2
    0.417455346172365-1.57079632675     		φ = -1.15334098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68742680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.682434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15334098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.081570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100737 KachelY 97913 1.68742680 -1.15334098 96.682434 -66.081570
    Oben rechts KachelX + 1 100738 KachelY 97913 1.68747474 -1.15334098 96.685181 -66.081570
    Unten links KachelX 100737 KachelY + 1 97914 1.68742680 -1.15336042 96.682434 -66.082684
    Unten rechts KachelX + 1 100738 KachelY + 1 97914 1.68747474 -1.15336042 96.685181 -66.082684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15334098--1.15336042) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15334098--1.15336042) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68742680-1.68747474) × cos(-1.15334098) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405435640691848 × 6371000     		do = 123.830480581174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68742680-1.68747474) × cos(-1.15336042) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405417870052613 × 6371000     		du = 123.825052970535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15334098)-sin(-1.15336042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405435640691848-0.405417870052613)×R²
    abs(1.68747474-1.68742680)×1.77706392350818e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77706392350818e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77706392350818e-05×40589641000000     		ar = 15336.346289978m²